第四章 微分中值定理与导数的应用一一泰勒定理及其应用
第四章 微分中值定理与 导数的应用 ―—泰勒定理及其应用
泰勒定理（1）基本想法：在x=X。附近用最简单的函数模拟f(x）。(a) lim(f(x)-f(x)=0= 用f(xo） 模拟f(x) 时,X-→x在x=X。附近误差是个无穷小；
泰勒定理 （ 1）基本想法： 在 附近用最简单的函数模拟 。 （a） 用 模拟 时， 在 附近误差是个无穷小；
f(x)- f(x.)(b) lim=f'(x)=)x-→xox-xof(x)- f(x)- f'(x,)(x-x)2=0→limx-→xox-xo用f(x)+f(x,)(x-x）模拟f(x)时在x=X附近误差是x一X。的高阶无穷小；
（b） 用 模拟 时， 在 附近误差是 的高阶无穷小；
f(x)- f(x)-(x)(x-x) = f"(x) =(c) limx→>xo(x-x.)f"(x)用f(x,)+ f(x)(x-x,)+-x,)模拟f(x)时,2在x=x附近误差是（x－x）的高阶无穷小；
（c） 用 模拟 时， 在 附近误差是 的高阶无穷小； ┉ ┉
（2）带皮亚诺余项的泰勒定理：泰勒定理：设函数f(x）在x=x。点的某个邻域内有定义且在x=x。处有n阶导数，那么F(x)= f(x)+ f(x0)(x- x)+L + F("()（x-x)"+o((x-xo)"),n!f(n(x,)其中, T,(x)= f(x)+ f(x)(x-x)+L +x)n!称为n次泰勒多项式，o((x一x）"）称为皮亚诺余项。解运用洛必达法则
解 （2 ）带皮亚诺余项的泰勒定理： 泰勒定理： 设函数 在 点的某个邻域内有定义， 其中， ， 称为 次泰勒多项式， 称为皮亚诺余项。 运用洛必达法则。 且在 处有 阶导数， 那么