第三章导数与微分一一导数的定义显函数的导数
第三章 导数与微分 ―—导数的定义 显函数的导数
导（函）数的定义（1）引例：平面曲线的切线设P(xo,f(x）是平面曲线C：y=f(x）上的定点，Q(x,f(x)是C上动点，那么C在P点的切线定义为割线PQ在动点Q沿C1趋于P时的极限位置。Q:00易见，切线的斜率f(x)- f(x,)k = lim kpo = lim0xQ-→Px-→xox-xo
导（函）数的定义 （1）引例：平面曲线的切线 设 是平面曲线 ： 上的定点， 是 上动点，那么 在 点的切线定义为割线 在动点 沿 趋于 时的极限位置。 易见，切线的斜率
（2）函数在一点处导数的定义：设函数f(x）在某个U(x,S）中有定义。Ayf(x, +△r)- f(x,)f(x)-f(x)若 limlimlim=AArAr->0 ArAr-→0x-→>xox-Xo存在，则称f(x）在x=x。点处可导，导数为f（x）=A。dydf其它的导数记号： (x0), 1 ， o, dx x=xo
（2）函数在一点处导数的定义： 设函数 在某个 中有定义。 存在， 若 则称 在 点处可导，导数为 。 其它的导数记号： ， ， ， ，
根据上述定义，函数f(x）在x=x。点处切线方程为yf(x）=f(x)(x-x）；1法线方程为y一f(x）x.f(xo)例求曲线y=x2在点(1,1）处的切线与法线方程。x2-1解f'(1)=lim2文x-1 x-1切线方程为y-1=2(x-1)=y=2x-1
切线方程为 ； 根据上述定义，函数 在 点处 解 例 求曲线 在点 处的切线与法线方程。 法线方程为 。 ， 切线方程为
例若f(x）≠0，则存在某个U(xs），在此邻域中f(x）既非最大值又非最小值。解导数是特殊极限：不妨设f（x）>0，则由极限的保号性，存在某个Ux,），在此邻域中，f(x)-f(x)f(x)>0，即f(x)-f(x）与x-x。同号。x-Xo
解 例 若 ，则存在某个 ，在此邻域中， 既非最大值又非最小值。 导数是特殊极限： 不妨设 ，则由极限的保号性， 存在某个 ，在此邻域中， ，即 与 同号