第九章欧几里得空间81定义与基本性质教学目的熟练掌握欧氏空间的定义、柯西-涅布柯夫斯基不等式、度量矩阵概念与性质，掌握向量的长度、夹角、正交的概念，掌握三角不等式，勾股定理重点欧氏空间的定义，柯西-涅布柯夫斯基不等式，度量矩阵.难点柯西-涅布柯夫斯基不等式，度量矩阵教学过程引入线性空间的模型是几何空间，我们把线性空间与几何空间比较发现，几何空间有长度、角度、距离等度量概念，但是线性空间没有这些概念。度量概念是十分重要，十分基本的概念，有必要在线性空间中引入度量，这就是本章的任务一、向量的内积定义1设V是实数域R上一个向量空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积(innerproduct),记作(α，β)，它具有以下性质：1) (α,β)=(β,α);2) (kα,β)=k(α,β);3) (α+β,)=(α,)+(β,);4）(α,α)≥0,当且仅当α=0时，(α,α)=0这里α,β,是V任意的向量，k是任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间（Euclideanspace）：例1在线性空间R"中,对于向量α=(a,a2,"",an),β=(bj,b2,",bn)定义内积(1)(α,β)=a,b+a,b, +.+a,bn
第九章 欧几里得空间 §1 定义与基本性质 教学目的 熟练掌握欧氏空间的定义、柯西-涅布柯夫斯基不等式、度 量矩阵概念与性质，掌握向量的长度、夹角、正交的概念，掌 握三角不等式，勾股定理. 重 点 欧氏空间的定义，柯西-涅布柯夫斯基不等式，度量矩阵. 难 点 柯西-涅布柯夫斯基不等式，度量矩阵. 教学过程 引入 线性空间的模型是几何空间，我们把线性空间与几何空间比较发 现，几何空间有长度、角度、距离等度量概念，但是线性空间没有这些概念. 度量概念是十分重要，十分基本的概念，有必要在线性空间中引入度量，这 就是本章的任务. 一、向量的内积 定义 1 设 V 是实数域 R 上一个向量空间,在 V 上定义了一个二元实函 数，称为内积(inner product),记作 (, ) ,它具有以下性质: 1) (, ) = (,) ; 2) (k, ) = k(, ) ; 3) ( + , ) = (, ) + (, ) ; 4) (,) 0,当且仅当 = 0 时, (,) = 0 这里 , , 是 V 任意的向量, k 是任意实数,这样的线性空间 V 称为欧几里得 空间（Euclidean space）. 例 1 在线性空间 n R 中,对于向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn , 定义内积 ( , ) . = a1 b1 + a2 b2 ++ an bn (1)
则内积(1)适合定义中的条件，这样R"就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间在n=3时，（1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2在R"里，对于向量α=(ai,a2,",an),β=(bi,b2,"",bn),定义内积(α,β)=a,b, +2a,b, +...+na,b,则内积(1)适合定义中的条件，这样R就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间对同一个线性空间可以引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间例3在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空间C(a,b)中,对于函数f(x),g(x)定义内积(2)(f(x),g(x)=,f(x)g(x)dx对于内积(2)，C(a,b)构成一个欧几里得空间，同样地，线性空间R[x],R[x],对于内积(2)也构成欧几里得空间例4令H是一切平方和收敛的实数列d5=(xi,x2,,x,),Zx <+=I所成的集合，则H是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的2') (α,kβ)=(kβ,α)=k(α,β)= k(β,α).3') (α,β+)=(β+y,α)=(β,α)+(,α)=(α,β)+(α,)定义2非负实数/αα）称为向量α的长度（length），记为αl显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：
则内积(1)适合定义中的条件，这样 n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示 这个欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标 表达式. 例 2 在 n R 里, 对于向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn , 定义内积 ( , ) 2 . = a1 b1 + a2 b2 ++ nan bn 则内积(1)适合定义中的条件，这样 n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用 来表示这个欧几里得空间., 对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间. 例 3 在闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数所成的空间 C(a,b) 中,对于函数 f (x), g(x) 定义内积 = b a ( f (x), g(x)) f (x)g(x)dx . (2) 对于内积(2)，C(a,b) 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间 n R[x], R[x] 对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例 4 令 H 是一切平方和收敛的实数列 = + =1 2 1 2 ( , , , ), n n n x x x x 所成的集合,则 H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间. 二、欧几里得空间的基本性质 1）定义中条件 1）表明内积是对称的. 2) (, k ) = (k,) = k(, ) = k(,). 3) (, + ) = ( + ,) = (,) + ( ,) = (, ) + (, ) 定义 2 非负实数 (,) 称为向量 的长度（length），记为 . 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度 符合熟知的性质：
[ka| -= k 1|al(3)这里keR,αeV长度为1的向量叫做单位向量(unitvecter）.如果,α±0由(3)式，向量UJal就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化柯西-布涅柯夫斯基(cauchy-buniakowski)不等式：即对于任意的向量α,β有(α, β)≤Jaβ(4)当且仅当α,β线性相关时，等式才成立对于例1的空间R"，（4)式就是ab,+a,b,+..+a,b,|≤a+a?+..+a,b?+b?++b?对于例2的空间C(a,b)，(4)式就是[()g((())(g())定义3非零向量α,β的夹角<α.β>规定为(α,β)2, 0≤(α,β)≤元(5)<α,β>=arccos[al/β]根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式Jα + β≤[al +[β](6)定义4如果向量α,β的内积为零，即(α,β)=0那么αβ称为正交(orthogonal)或互相垂直，记为α工β两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为
k =| k | (3) 这里 k R, V . 长度为 1 的向量叫做单位向量(unit vecter ).如果, 0 由(3)式，向量 1 就是一个单位向量.用向量 的长度去除向量 ，得到一个与 成比例的单 位向量，通常称为把 单位化. 柯西-布涅柯夫斯基(cauchy –buniakowski)不等式：即对于任意的向量 , 有 (,) (4) 当且仅当 , 线性相关时，等式才成立. 对于例 1 的空间 n R ，(4)式就是 . 2 2 2 2 1 2 2 2 2 a1b1 + a2b2 ++ anbn a1 + a ++ an b + b ++ bn 对于例 2 的空间 C(a,b)，(4)式就是 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 定义 3 非零向量 , 的夹角 , 规定为 = , 0 , ( , ) , arccos (5) 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式 + + . (6) 定义 4 如果向量 , 的内积为零，即 (, ) = 0 那么 , 称为正交(orthogonal)或互相垂直，记为 ⊥ . 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为 2
只有零向量才与自己正交勾股定理：当αβ正交时，α+=a+(7)推广：如果向量两α,α2,α两两正交，那么[a +α2 +..+am=a] +a+..+am设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基6i,62,,,，对于V中任意两个向量α=xe+X262 +...+x,en,β=ye+y282+...+y,8n.由内积的性质得(a,β)=(xe)+x,e,+.+x,en,ye)+y2, +.+y,e.)=2Z(8,8)x,y)i=l j=l令(8)aj =(6,6)(i,j=1,2,...,n)显然a,=aji于是n(α, β)=)(9)Zaixyi=l j=l利用矩阵，(α,β)还可以写成(α,β)= X'AY,(10)其中(i)(5)y2X2X =Y:..(n)(xn分别是α,β的坐标，而矩阵
只有零向量才与自己正交. 勾股定理：当 , 正交时， . 2 2 2 + = + (7) 推广：如果向量两 m , , , 1 2 两两正交，那么 2 2 2 2 1 2 1 + 2 ++ m = + ++ m . 设 V 是一个 n 维欧几里得空间，在 V 中取一组基 n , , , 1 2 ，对于 V 中 任意两个向量 n n = x + x ++ x 1 1 2 2 , n n = y + y ++ y 1 1 2 2 , 由内积的性质得 = = = = + + + + + + n i n j i j i j n n n n x y x x x y y y 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) , 令 a ( , ) (i, j 1, 2 , ,n) ij = i j = (8) 显然 . aij = a ji 于是 = = = n i n j ij i j a x y 1 1 (, ) (9) 利用矩阵， (, ) 还可以写成 (, ) = X AY , (10) 其中 = = n n y y y Y x x x X 2 1 2 1 , 分别是 , 的坐标，而矩阵
A=(a,)mn称为基s,82，"",8,的度量矩阵(metricmatrix）上面的讨论表明，在知道了组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积设n2n是空间V的另外一组基，而由s2到2的过渡矩阵为C，即(n,2,...,n.)=(),82,.,8,)C于是不难算出，基n,n2，,n,的度量矩阵B=(b,)=(n,n,)= C'AC,(11)这就是说，不同基的度量矩阵是合同的根据条件(4)，对于非零向量α，即(0)0X...0有(α,α)=X'AX >0因此，度量矩阵是正定的反之，给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基81,82，"",8.可以规定V上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的8,62",度量矩阵是A.欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间,欧几里得空间以下简称为欧氏空间
A aij nn = ( ) 称为基 n , , , 1 2 的度量矩阵(metric matrix ).上面的讨论表明，在知道了一 组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10） 来计算，因而度量矩阵完全确定了内积. 设 n , , , 1 2 是空间 V 的另外一组基，而由 n , , , 1 2 到 n , , , 1 2 的过渡矩阵为 C ，即 (1 ,2 , ,n ) = ( 1 , 2 , , n )C 于是不难算出，基 n , , , 1 2 的度量矩阵 B = (bij) = (i , j) = CAC . (11) 这就是说，不同基的度量矩阵是合同的. 根据条件(4)，对于非零向量 ，即 0 0 0 X 有 (,) = X AX 0 因此，度量矩阵是正定的. 反之，给定一个 n 级正定矩阵 A 及 n 维 实线性空 间 V 的 一 组 基 n , , , 1 2 .可以规定 V 上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的 n , , , 1 2 度量矩阵是 A . 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空 间. 欧几里得空间以下简称为欧氏空间