9求证im(2+y)sinx+y2 x→0 y→0 1 证 k+iy-0 =+i2+y≤+y产 Ve>0, 36=√8， 当0<V(x-0)2+(y-0)2<6时， +产)sin 原结论成立
例9 求证 证 0 1 lim( )sin 2 2 2 2 0 0 x y x y y x 0 1 ( )sin 2 2 2 2 x y x y 2 2 2 2 1 sin x y x y 2 2 x y 0, , 当 0 (x 0) 2 ( y 0) 2 时， 0 1 ( )sin 2 2 2 2 x y x y 原结论成立．
例10研究函数 0, x2+y2=0 当：，y)→(0,0)的极限. 解取y=c k x2+ lim y hx2 lim 三 x-0x2+k2x2 1+k2 y→0 y=kx 其值随k的不同而变化，故极限不存在
例10 研究函数 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 当(x,y)→(0,0)的极限． 解 取 y kx 2 2 0 0 lim x y xy y x 2 2 2 2 0 lim x k x kx y kx x 2 1 k k 其值随k的不同而变化， 故极限不存在．
例11已知 x'y f(x,y)=x'+y2 x2+y2≠0 0 x2+y2=0 试证明当(x,y)→(0,0)函数没有极限 证明当P(x,y)沿y轴→(0,0)，1imf(x,y)=0 y→0 当P(x,y)沿x轴→(0,0)，imf(x,y)=0 y=0
例11 已知 , 0,0 . 0 0 0 , 2 2 2 2 4 2 2 试证明当 函数没有极限 x y x y x y x y x y f x y ( , ) 0,0, lim , 0 0 0 P x y y f x y y x 证明 当 沿 轴 当P( x, y)沿x轴 0,0, lim , 0 0 0 f x y y x
当P沿y=x→(0,0) kx 3 c lim lim :0 →0 x4+k2x2 x→0 x2+k2 y=kx y=kx 但当P沿y=x2→(0,0) im f(x)= im 0x4+x4 2 y=x limf(x,y)不存在： x→0 y→0
2 1 lim , lim 0,0 4 4 4 0 0 2 2 x x x f x y P y x x y x x 但当 沿 lim , ! 0 0 f x y 不存在 y x lim lim 0 0,0 2 2 0 4 2 2 3 0 x k kx x k x kx P y kx y kx x y kx x 当 沿
确定极限不存在的方法： (1)令P(x,y)沿y=kx趋向于P(x,y),若 极限值与k有关，则可断言极限不存在； (2) 找两种不同趋近方式，使imf(x,y)存在， x→X0 y→yo 但两者不相等，此时也可断言f(x,y)在点 Po(xo,y)处极限不存在
（1）令 P( x, y)沿y kx趋向于 ( , ) 0 0 0 P x y ，若 极限值与k有关，则可断言极限不存在； （2） 找两种不同趋近方式，使lim ( , ) 0 0 f x y y y x x 存在， 但两者不相等，此时也可断言 f ( x, y)在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处极限不存在． 确定极限不存在的方法：