广东工业大学：《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 多元函数的微分法及其应用

二、二元函数的极限 研究：当x→x,y→y时乙=f(x,y)的变化趋势 即P(x,y)→P(x,y)即p=PP→0 p=V(x-x}+(y-}→0， z=f(x,y)的变化趋势 如果当P→P,时 有z=f(x,y)→A PPo<δ Z-A<6

二、二元函数的极限          的变化趋势 ， 即 即 z f x y x x y y P x y P x y PP , 0 , , , 0 2 0 2 0 0 0 0 0              PP0    z A 如果当P  P0时 有 z  f x, y  A : , ( , ) . 研究 当x  x0 y  y0时 z  f x y 的变化趋势

定义Vε>0,38>0， 当0<PP<6时 恒有f(x,y)-A<,则称4A为z=f(K,y) 当x→x,y→y时的极限 记作：Iimf(x,y)=A X→X0 y→y0 或f(x,y)→A(x→x,y→y) 几何意义Hε>0，总点P的邻域（点P,可除外） 在U(P,δ)，z=f(x,y的图形总在平面 z=A+8,乙=A-ε之间

  当 时的极限 恒有 则称 为 当 时 0 0 0 , , , ( , ) 0, 0, 0 x x y y f x y A A z f x y PP                      0 0 , , : lim , 0 0 f x y A x x y y f x y A y y x x       或 记作 定义       之间 在 的图形总在平面 总 点 的 邻域 点 可除外              z A z A U P z f x y P P , , , , 0, , 0 几何意义 0 0

x'p 例8f(x,y)={x2+y只 (x,y)≠(0,0) 0 (x,y)=(0,0) 验证：limf(x,y)=0 x→0 y→0 证明Ve>0 要使 <92四飞+D 即 只须x<&只须：Vx2+y2<28=6 找到！得证

       0 0 2 2 2 x y x y 要使           : lim  ,  0 0 , 0,0 , 0,0 , 0 0 2 2 2             f x y x y x y x y x y f x y y x 验证 例8 证明 找到 !得证 . 2 2 2 2 2 2 xy x y x y x y     即      :   2   2 1 2 2 只须 x 只须 x y

lim f(x)=A+lim f(x)=lim f(x)=A x→X0 +0 r->X Iimf(x,y)=A,P→P,沿任意方式 x→x0 y→yo (1)limf(x,y)=A limf(x,y)=4 limf(x,y)=A x→X0 x→X0 X三X0 Jy→y0 Jy='0 y→yo (2)若imf(x,y)=A imf(x,y)=B,A≠B x-→xo x=x0 y=Yo y→yo → lim f(x,y)不存在 x→x0 y→yo

注 f x A f x f x A x x x x x x       0  0 0 0 0 lim lim lim lim  ,  , 0沿任意方式 0 0 f x y A P P y y x x     f x y A f x y A f x y A y y x x y y x x y y x x           (1) lim , lim , lim , 0 0 0 0 0 0 不存在 若 lim ( , ) (2) lim ( , ) lim ( , ) , 0 0 0 0 0 0 f x y f x y A f x y B A B y y x x y y x x y y x x          

例9 证明：m(e2+y小im。y=0 y-→0 求im x'y x2+y2 y-→0 二元函数的极限运算法则与一元函数类似

例9   0 1 :lim sin 2 2 2 2 0 0      x y x y y x 证明 2 2 2 0 0 lim x y x y y x    求 二元函数的极限运算法则与一元函数类似