广东工业大学：《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 多元函数的微分法及其应用

三、二元函数的连续性 z=f(x,y)(x,y)e )P是D的内点 P∈U(P,6)P∈D 1定义若imf(x,y)=f(x,y) X→x0 y→yo0 则称z=f(x,y)在点P(x,y处连续 即P→P,时f(x,y)-f(xJ)》→0 P为连续点 (1)D内每点为连续点称z=f(x,y在D内连续

三、二元函数的连续性     P U P  P D z f x y x y D P D     , , , 0 0是 的内点 1 定义      ,   ,  . lim , , 0 0 0 0 0 0 0 则称 在点 处连续 若 z f x y P x y f x y f x y y y x x         为连续点 即 时 0 0 , 0 , 0 0 P P  P f x y  f x y  (1) D内每点为连续点,称z  f x, y在D内连续

(2)8-6语言：乙=f(x,y)在点P处连续 → ε>0,3δ>0，当PP<6时 恒有f(x,y)-f(xy)<8 (3)若f(x,y)在点P,处不连续，则 称P为f(x,y)的间断点。 y Yx=x++r夫0 0, x2+y2=0

               0 0 0 , , 0, 0, f x y f x y PP 恒有 当 时 (2)   语言：z  f x, y在点P0处连续     ,  . (3) , 0 0 称 为 的间断点 若 在点 处不连续，则 P f x y f x y P            0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y

2有界闭区域上的连续函数性质 (1) 最大值和最小值定理 有界闭区域上的连续函数必定有最大值，最小值 即存在点P,P∈D 使得 VP∈D 都有f(D)sf(P)sf(D)

2 有界闭区域上的连续函数性质   , . (1) 有界闭区域上的连续函 数必定有最大值 最小值 最大值和最小值定理       1 2 1 2 , f P f P f P P P D P D      都有 即存在点 使得

(2) 介值定理 有界闭区域上的连续函数，若取得 两不同值，则它在该区域上取得介于 这两个值之间的一切值至少一次. 特别m≤μ≤M→至少]一点P∈D使得f(P)=4

. , (2) 这两个值之间的一切值 至少一次 两不同值，则它在该区 域上取得介于 有界闭区域上的连续函 数 若取得 介值定理 特别m    M  至少一点P  D使得f P  

(3)连续函数的和，差，积，商（分母不为0处 均为连续函数，连续函数的复合函数也连续. = f(u,v,w)u=o(x,y)v=y(x,y)w=w(x,y) 则z=f(x,y)w(x,y)w(k,y是复合函数

  , . (3) , , , 0 均为连续函数 连续函数的复合函数也 连续 连续函数的和 差 积 商 分母不为 处           , ,  ,   ,  . , , , , , 则z f x y x y ，w x y 是复合函数 z f u v w u x y v x y w w x y         