考研数学历年真题：1991考研数一真题及解析

凶跨煮教育KUAKACABornto win1alad-bc00(A-IA易见再利用分块矩阵求逆的法则B-1.0B0-200100-25121A-I =00313110033二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）(1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为x≠0，所以函数的间断点为x=0I+e*rer +1lim y=lim=lim80，所以x=0为铅直渐近线，X-0x-0 1-e-xx0 e11+e~r?+1lim y= lim=1,所以y=1为水平渐近线.limo-rT→001所以选(D)【相关知识点】铅直渐近线：如函数y=f(x)在其间断点x=x处有limf(x)=00，则x=x是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当limf(x)=a,(a为常数），则y=a为函数的水平渐近线.(2）【答案】(B)【解析】令u=，则t=2u,dt=2du，所以2f(x)=f(dt+ In2= "2f(u)du+ln2,两边对 x 求导,得 F(t)=2 (1),这是一个变量可分离的微分方程,即 L(a)l=2dx.解f(x)之得f(x)=Ce2x，其中C是常数又因为f(0)=[~2f(u)du+ln2=ln2,代入f(x)=Ce2r,得f(0)=Ce°=ln2,得

Born to win 1 a b d b d b 1 1 c d c a c a A ad bc −       − −       = =       − − − . 再利用分块矩阵求逆的法则： 1 1 1 0 0 0 0 A A B B − − −       =       ,易见 1 1 2 0 0 2 5 0 0 1 2 0 0 3 3 1 1 0 0 3 3 A −   −   −     =       −   . 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) 【解析】由于函数的定义域为 x  0 ,所以函数的间断点为 x = 0 , 2 2 2 2 0 0 0 1 1 lim lim lim 1 1 x x x x x x x e e y e e − → → → − + + = = =  − − ,所以 x = 0 为铅直渐近线, 2 2 2 2 1 1 lim lim lim 1 1 1 x x x x x x x e e y e e − → → → − + + = == = − − ,所以 y = 1 为水平渐近线. 所以选(D). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数 y f x = ( ) 在其间断点 0 x x = 处有 0 lim ( ) x x f x → =  ,则 0 x x = 是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当 lim ( ) ,( x f x a a → = 为常数）,则 y a = 为函数的水平渐近线. (2)【答案】(B) 【解析】令 2 t u = ,则 t u dt du = = 2 , 2 ,所以 2 0 0 ( ) ln 2 2 ( ) ln 2 2 x x t f x f dt f u du   = + = +       , 两边对 x 求导,得 f x f x ( ) 2 ( ) = ,这是一个变量可分离的微分方程,即 [ ( )] 2 ( ) d f x dx f x = .解 之得 2 ( ) x f x Ce = ,其中 C 是常数. 又因为 0 0 f f u du (0) 2 ( ) ln 2 ln 2 = + =  ,代入 2 ( ) x f x Ce = ,得 0 f Ce (0) ln 2 = = ,得

凶跨煮教育KUAKAOEDUICATIOIBorntowinC=ln2,即 f(x)=e2x-In2(3）【答案】(C)【解析】因为E(-1)"-a, =a -a, +a, -ax +..+a2n---an +..-=(a -a,)+(a -a)+...+(an--an)+..00-a)=Zα2，(收敛级数的结合律与线性性质)，(a2n-Za2n-1n=1n=ln=lEa2n-1-Z(-1)"la, = 5-2 =3.所以)"-1(aon=ln=n=12a, -(++.)+(+ +.).+(++.)..而n=1a2n-=5+3=8>(a)+a=tan=ln=n=l故应选(C).(4）【答案】（A)【解析】如图，将区域D分为D,D,D,D四个子区域D2D1显然，D,D,关于y轴对称，D,D关于x轴对称D30-1D4[1, = [ xydxdyD令I/cosxsinydxdyI, =由于xy对x及对y都是奇函数，所以JJ xydxdy =0, JJ xrydxdy =0.D+DD+DA而cosxsiny对x是偶函数，对y是奇函数，故有cos x sin ydxdy = 0, ([ cos x sin ydxdy =2[[cos xsin ydxdyDD,+DD,+D所以[(xy+cos x sin y)dxdy= I, + I, =2[[cos xsinydxdy,T故选(A).(5）【答案】(D)

Born to win C = ln 2,即 2 ( ) ln 2 x f x e =  . (3)【答案】(C) 【解析】因为 1 1 2 3 4 2 1 2 1 ( 1)n n n n n a a a a a a a  − − =  − = − + − + + − + 1 2 3 4 2 1 2 ( ) ( ) ( ) n n a a a a a a = − + − + + − + − 2 1 2 2 1 2 1 1 1 ( ) n n n n n n n a a a a    − − = = = = − = −    (收敛级数的结合律与线性性质), 所以 1 2 2 1 1 1 1 ( 1) 5 2 3 n n n n n n n a a a    − − = = =    = − − = − = . 而 1 2 3 4 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n n a a a a a a a  − =  = + + + + + + + 2 1 2 2 1 2 1 1 1 ( ) n n n n n n n a a a a    − − = = = = + = +    =+= 5 3 8 , 故应选(C). (4)【答案】(A) 【解析】如图,将区域 D 分为 1 2 3 4 D D D D , , , 四个子区域. 显然, 1 2 D D, 关于 y 轴对称, 3 4 D D, 关于 x 轴对称. 令 1 2 cos sin D D I xydxdy I x ydxdy  =    =    , 由于 xy 对 x 及对 y 都是奇函数,所以 1 2 3 4 0, 0 D D D D xydxdy xydxdy + + = =   . 而 cos sin x y 对 x 是偶函数,对 y 是奇函数,故有 3 4 1 2 1 cos sin 0, cos sin 2 cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy + + = =    , 所以 1 1 2 ( cos sin ) 2 cos sin D D xy x y dxdy I I x ydxdy + = + =   , 故选(A). (5)【答案】(D)