§7.4平面及其方程 曲面方程 平面方程 两平面的 量平面的位 夹角 置关系
§7.4 平面及其方程 曲面方程 平面方程 两平面的 夹角 量平面的位 置关系
一 曲面方程 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 背景：求球心为M(x,,20)半径为 球心为原点半径为R的球面方程为 R的球面方程 x2+y2+z2=R2 解：设M(x,y,z)是球面上的任意点 (1)球面方程是一个关于x,八，2 则M(x,y,z)在球面上的充要条件是 的三元方程 (2)球面S上任一点的坐满足方程 MoM=R (x-x)}+(y-⅓)2+(2-)2=R2 即Vx-x)2+(y-)2+(z-2)2=R (3)满足方程x-+0-+-= 化简得(x-x)+(y-%)}+(2-)=R2 的点都在球面S上
一、曲面方程 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 背景：求 球心为 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 半径为 R 的球面方程 解：设 M x y z ( , , )是球面上的任意点 则M x y z ( , , )在球面上的充要条件是 M M R 0 即 2 2 2 0 0 0 x x y y z z R 化简得 2 2 2 2 0 0 0 x x y y z z R （1）球面方程是一个关于 x y z , , 的三元方程 （2）球面S 上任一点的坐满足方程 2 2 2 2 0 0 0 x x y y z z R （3）满足方程 2 2 2 2 0 0 0 x x y y z z R 的点都在球面S 上 球心为原点半径为 R 的球面方程为 2 2 2 2 x y z R
一、 曲面方程 曲面方程 注记1：求曲面方程的步骤 如果曲面S与三元方程 第一步：建立适当的坐标系 F(x,y,z)=0 (1) 第二步：找出任意点在曲面上的 有下述关系： ①曲面S上任一点的坐标满足 充要条件 方程()； 第三步：用向量表示任意点在曲面上 ②满足方程(1)的点都在曲面S上 的充要条件 那么方程(1)就叫做曲面S的方程 第四步：化简 曲面S叫做方程()的图形
一、曲面方程 曲面方程 如果曲面 S 与三元方程 F x y z ( , , ) 0 (1) 有下述关系： ①曲面 S 上任一点的坐标满足 方程(1) ； ②满足方程(1) 的点都在曲面S 上 那么方程(1) 就叫做曲面S 的方程 曲面 S 叫做方程(1) 的图形. 注记1：求曲面方程的步骤 第一步：建立适当的坐标系 第二步：找出任意点在曲面上的 充要条件 第三步：用向量表示任意点在曲面上 的充要条件 第四步：化简
二、平面的点法式方程 在空间给定了一点M和一个非零 求过定点M(xo,y,二o)且法向量为 量n,那么通过M。且与 n=（A,B,C)平面π方程 向量垂直的平面也惟一地被确定。 (1)设点M(x,y,z)是平面π上任意的一点 则点M在平面π上的充要条件 是MoM,n垂直.即MoM·n=0 (2)又MM=(x-xy-o,2-2o) 故点M在平面π上的充要条件是 我们把与平面垂直的非零向量 A(x-x)+By-)+C(z-20)=0 叫做平面的法线向量. 平面的点法式
在空间给定了一点M0 和一个非零 二、平面的点法式方程 x y z o M0 M n 量 n ，那么通过M0 且与 向量n垂直的平面也惟一地被确定. 我们把与平面垂直的非零向量 叫做平面的法线向量. 求过定点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 且法向量为 n A B C , , 平面 方程 （1）设点 M x y z ( , , )是平面 上任意的一点 则点 M 在平面 上的充要条件 是 0 M M n, 垂直. 即 0 M M n 0 （2）又 M M x x y y z z 0 0 0 0 , , 故点 M 在平面 上的充要条件是 0 0 0 A x x B y y C z z ( ) ( ) ( ) 0 平面的点法式
二、平面的点法式方程 注记2：利用点法式求平面方程的步骤 例1求过M(2,-1,4),M(-1,3,-2) (1) 找出平面上的一个点M(xo,yo,2o) 和M3=(0,2,3)的平面的方程 解 （1)显然MM,=(-3,4,-6) (2) 找出平面上的法向量方=（A,B,C) M,M?=(-2,3,-1) (3) 代入点法式方程中，并整理化简 (2) 取法向量n=MM,×MM则 分析（1)取平面上的一个点M,(2,-1,4) n=-34 -6 =14i+9j-k (2)法向量n⊥M1M2,n⊥MM3, -23-1 因此 i‖MM×M,M 故平面的点法式方程为 故取 14(x-2)+9y+1)-(z-4)=0 n=M,M2×M,M 即 14x+9y-z-15=0
二、平面的点法式方程 注记 2：利用点法式求平面方程的步骤 （1） 找出平面上的一个点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z （2） 找出平面上的法向量n A B C , , （3） 代入点法式方程中，并整理化简 例 1 求过 1 2 M M (2, 1,4), ( 1,3, 2) 和 3 M (0,2,3)的平面的方程. 分析（1）取平面上的一个点 1 M (2, 1,4) （2）法向量 1 2 1 3 n M M n M M , , 因此 n M M1 2 M M1 3 故取 n M M1 2 M M1 3 解 （1）显然 1 2 M M ( 3,4, 6) 1 3 M M ( 2,3, 1) 3 4 6 2 3 1 i j k n （2）取法向量 1 2 1 3 n M M M M 则 14 9 i j k 故平面的点法式方程为 14( 2) 9( 1) ( 4) 0 x y z 即 14 9 15 0. x y z