第八章多元函数微分法及其应用 多元函数的概念 主要内容 多元函数的偏导数 多元函数的全微分 多元函数的求导法则 多元函数微分法的应用
多元函数的概念 多元函数的偏导数 多元函数的全微分 多元函数的求导法则 主 要 内 容 多元函数微分法的应用 第八章 多元函数微分法及其应用
第一节多元函数的基本概念 平面点 桌与区域 多元函数 多元函数 的极限 的连续性 多元函数 的概念 Ooo⊙o8
平面点 集与区域 多元函数 的概念 多元函数 的极限 多元函数 的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 多元函数的基本概念
平面点集与区域 平面点集：平面上具有某种性质的点的集合 1.邻域：平面上与点(x,)距离小于6>0的点P(x,y)的全体称为点(x)的邻域 U(B.5)=(P:RPI<6)=(x.)x-x)+(y-y<6 内点 2.去心邻域：U(,)={P:0<P<δ} 边界点 3.内点：设E是平面上的一个点集.如果存在点P的邻域U(P),使得UP)∈E,则称点 P叫做为点集E的内点 4,边界点：如果点P的任意邻域中就有E的内点又有不属于E的点.，则称 P叫做为点集E的.边界点
平面点集：平面上具有某种性质的点的集合 1.邻域：平面上与点 0 0 0 P x y ( , )距离小于 0的点 P x y ( , ) 的全体称为点 0 0 0 P x y ( , )的邻域 2 2 0 0 0 0 U P P P P x y x x y y ( , ) : ( , ) ( ) ( ) 一、 平面点集与区域 2.去心邻域： U P P PP ( , ) : 0 0 0 3.内点：设 E 是平面上的一个点集.如果存在点 P 的邻域U P( )，使得U P E ( ) ，则称点 P 叫做为点集 E 的内点. E P P 内 点 4.边界点：如果点 P 的任意邻域中就有 E 的内点又有不属于 E 的点.，则称 P 叫做为点集 E 的.边界点. 边界点
平面点集与区域 5.开集：如果点集E的每一个点都是它的内点，则称点集E为开集， E={x,y)l<x2+y2<4} 6.连通：如果对开集D内的任意两点都可以用完全位于D内的折线 连接起来，则称开集D是连通的. 7. 开区域：连通的开集成为（开）区域 8. 闭区域：（开）区域连同它的边界点 E={x,y)l≤x2+y2≤4 9.有界点集：如果平面集E可以含于某个以原点为圆心的圆内，则称E为有界点集 否则称E为无界点集
5. 开集：如果点集E的每一个点都是它的内点，则称点集E 为开集. 2 2 E x y x y ( , ) 1 4 6. 连通：如果对开集 D 内的任意两点都可以用完全位于 D 内的折线 连接起来，则称开集D是连通的. x y o 7. 开区域：连通的开集成为（开）区域 8. 闭区域：（开）区域连同它的边界点 2 2 E x y x y ( , ) 1 4 x y o 9.有界点集：如果平面集 E 可以含于某个以原点为圆心的圆内,则称 E 为有界点集 否则称 E 为无界点集 一、 平面点集与区域
二、多元函数的基本概念 背景：圆柱体体积V和它的底半径r、高h之间具有关系V=πr2h V=πr.2h的特点是什么？ (1) 有三个变量，其中两个自变量，一个因变量 (2) 当两个自变量在某一范围内取值时，因变量通过某 一对应法则 有唯一值和它对应 定义1：设有三个变量x,y,z,如果当变量在一定范围内任意取定一对值(x,y)时 变量z按照一定的法则总有唯一确定的值与之对应，则称这个对应 法则f为x,y的二元函数.记作z=f(xy)=f(P),P(x,y) Z叫做因变量 x,y叫做自变量 自变量x,y的变化范围称为二元函数的定义域
背景：圆柱体体积 V 和它的底半径 r、高 h 之间具有关系 V= 2 r h V= 2 r h 的特点是什么 ？ （1） 有三个变量，其中两个自变量，一个因变量 （2） 当两个自变量在某一范围内取值时，因变量通过某 一对应法则 二、 多元函数的基本概念 有唯一值和它对应 定义 1：设有三个变量 x y z , , ，如果当变量在一定范围内任意取定一对值( , ) x y 时 变量 z 按照一定的法则 f 总有唯一确定的值与之对应，则称这个对应 法则 f 为 x, y 的二元函数. 记作 z f x y f P P x y ( , ) ( ), ( , ) z 叫做因变量 x y, 叫做自变量 自变量 x, y 的变化范围称为二元函数的定义域