§7.7空间曲线及其方程 空间曲线 的一般方程 空间曲线在 空间曲面 坐标面上的投 在坐标面上的 影 投影 空间曲线 的参数方程 OoOD⊙⑧ 凯机动
机动 目录 上页 下页 返回 结束 §7.7 空间曲线及其方程 空间曲线 的一般方程 空间曲线 的参数方程 空间曲线在 坐标面上的投 影 空间曲面 在坐标面上的 投影
一、空间曲线的一般方程 设曲面S:F(x,y,)=0与曲面S2:G(x,y,)=0相交于曲线C 则 ∫F(x,y,)=0称为曲线的一般方程 G(x,y,z)=0 S S2 例1方程组 2+y=1 2x+3z=6 表示怎样的曲线？ 解(1)x2+y2=1表示母线平行于z轴的圆柱面， 其准线是xOy面上的圆，圆心在原点O,半行为1， (2)2x+3z=6表示平行于y轴的平面 因此交线 x2+y2=1 为椭圆。 2x+3z=6
设曲面S:1 F x y z , , 0 与曲面 , , 0, G , , 0 F x y z x y z 称为曲线的一般方程 一、空间曲线的一般方程 则 S:2 G , , 0 x y z 相交于曲线C x o z y S1 S2 例 1 方程组 C 2 2 1, 2 3 6 x y x z 表示怎样的曲线 ? 解 （1） 1 2 2 x y 表示母线平行于 z 轴的圆柱面， 其准线是 xOy 面上的圆 圆心在原点 O 半行为 1 （2）2x 3z 6表示平行于 y 轴的平面 因此交线 2 3 6 1 2 2 x z x y 为椭圆. x z 1 y o C 2
一、空间曲线的一般方程 1.方程组 表示怎样的曲线？ z=va2-x2-y 2.方程组 +广=R: 表示怎样的曲线？ x2+22=R2 3.方程组 x2+y2+z2=4a 表示怎样的曲线？ x2+y2-2ax=0 4.方程组 表示怎样的曲线？ z=2-x2-y
1. 方程组 2 2 2 2 2 2 2 2 a a x y z a x y 表示怎样的曲线? 一、空间曲线的一般方程 2. 方程组 2 2 2 2 2 2 x y R x z R 表示怎样的曲线? 3. 方程组 2 2 2 2 2 2 4 2 0 x y z a x y ax 表示怎样的曲线? 4. 方程组 2 2 2 2 2 z x y z x y 表示怎样的曲线?
二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点的坐标x,y,z表示为参数1的函数： x=x(t) y=y(t) 当给定1=t时，就得到C上的一个点(x,y,) z=2(t) 随着的变动就得到曲线C上的全部点 联想圆的 空间曲线的 例2求曲线 的参数方程 参数方程！ 参数方程。 (z=Va2-x2-y2 解设x-号 n0,即x=cos,y=号n0 a cose,y= a a 2 代入球面方程得 =dsin 0 x=a+acos0 22 a y-2sine (0≤0≤2π) 于是所求曲线的参数方程为 -asin
将曲线C 上的动点的坐标x y z , , 表示为参数t 的函数： 二、空间曲线的参数方程 ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 当给定 1 t t 时，就得到C 上的一个点 x y z 1 1 1 , , 随着t的变动就得到曲线C 上的全部点. 空间曲线的 例 2 求曲线 参数方程. 2 2 2 2 2 2 2 2 a a x y z a x y 的参数方程. 解 设 cos , sin 2 2 2 a a a x y ，即 cos , sin 2 2 2 a a a x y 代入球面方程得 sin . 2 z a 于是所求曲线的参数方程为 cos 2 2 sin (0 2 ). 2 sin 2 a a x a y z a 联想圆的 参数方程
二、空间曲线的参数方程 圆柱螺旋线的参数方程为 x=acos ot, 令0=oL,b=y x=acos0 y=asin ot, 0 y=asin z=bot 螺旋线上升的高度与转过的角度成正比 z=b0 1.试写出曲线 x2+y=3 的参数方程 z=0 2.试写出曲线 Y-少=1的参数方程 z=1 2.试写出曲线 x+y+=3 的参数方程 x=y
二、空间曲线的参数方程 圆柱螺旋线的参数方程为 z b t y a t x a t sin , cos , 令 v t, b z b y a x a sin cos 螺旋线上升的高度与转过的角度成正比 1.试写出曲线 2 2 2 3 0 x y z 的参数方程 2.试写出曲线 2 2 1 1 x y z 的参数方程 2.试写出曲线 2 2 2 2 x y z 3 x y 的参数方程