§9.4三重积分 三重积分 的概念 三重积分 三重积分 的计算 的应用
§9.4 三重积分 三重积分 的计算 三重积分 的概念 三重积分 的应用
三重积分的概念 1.背景：设在空间有限闭区域2内分布着某种不均匀的物质 密度函数为4(x,y,z)∈C,求分布在2内的物质的质量M 求曲顶柱体体积的思路 求物质质量的思路 (1)分割：用曲线网把D分成 (1)分割：用曲线网把空间闭区域2分成 n个小闭区域△o1,△o2,·,△on n个小的空间闭区域AV,△V2,·,△Vn. (2)近似计算：用平顶柱体体积 (2)近似计算：用均匀闭区域的物质的质量 近似表示小曲顶柱体的形的体积 近似表示小空间闭区域上物质的质量 即△V≈f(5,n,)△o 即AM,≈4(5,7,5i)△V (3)求和V=2AW≈2f传，n)△a, (3)求和M=∑AM,*2M5,n,5)Ay (4)取极限V=lim∑f5,7)△o (4)取极限M=lim∑μ(5，n,5)△ 0=1
一、 三重积分的概念 1.背景: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质 密度函数为 (x, y,z)C, 求分布在 内的物质的质量 M （1）分割：用曲线网把 D 分成 n 个小闭区域 1 2 n （2）近似计算：用平顶柱体体积 近似表示小曲顶柱体的形的体积 即 ( , ) V f i i i i （3）求和 1 1 ( , ) n n i i i i i i V V f 求曲顶柱体体积的思路 （4）取极限 i i i n i V f lim ( , ) 1 0 （1）分割：用曲线网把空间闭区域 分成 n 个小的空间闭区域V 1 V 2 Vn （2）近似计算：用均匀闭区域的物质的质量 近似表示小空间闭区域上物质的质量 即 ( , , ) M V i i i i i （3）求和 1 1 ( , , ) n n i i i i i i i M M V 求物质质量的思路 （4）取极限 0 1 lim ( , , ) n i i i i i M V
三重积分的概念 2. 三重积分的定义 设fx,y,)是空间有界闭区域2上的有界函数 (1)将空间闭区域2任意分成n个空间小闭区域△V1,△V2,·,△Vm.其中△V:表示第 i个空间闭区域，也表示它的体积. (2)在每个△V上任取一点(5，n,5),作乘积f(5,n,5)△，并作和2f5,n,5)AY. (3)如果当无限增大且各小闭区域的直径中的最大值2趋于零时，这和的极限总存在 则称此极限为函数fx,y,z)在闭区域2上的三重积分，记作川f(x,y,z)业，即 即 f(x.y.dv-lim()v, 元→0i=1 2 2 f(x,八，z) x,y,2 f(x,y,=)dv dv f(Gn5)AV 积分区域 被积表达式 体积元素 id 被积函数 积分变量 积分和 注记1：三重积分具有与二重积分相似的性质
2. 三重积分的定义 一、 三重积分的概念 设 f x y z ( , , )是空间有界闭区域 上的有界函数 （1）将空间闭区域 任意分成 n 个空间小闭区域V 1 V 2 Vn 其中Vi表示第 i 个空间闭区域也表示它的体积 （2）在每个Vi上任取一点( , , ) i i i ,作乘积 ( , , ) , i i i i f V 并作和 1 ( , , ) n i i i i i f V （3）如果当n 无限增大且各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f x y z ( , , )在闭区域 上的三重积分 记作 f x y z dV ( , , ) 即 即 0 1 ( , , ) lim ( , , ) n i i i i i f x y z dV f V 积分区域 f x y z ( , , ) 被积函数 x y z , , 积分变量 f x y z dV ( , , ) 被积表达式 dV 体积元素 1 ( , , ) n i i i i i f V 积分和 注记 1：三重积分具有与二重积分相似的性质
二、三重积分的计算 直角坐标下的计算方法 投影法（先一后二） 截面法（先二后一） 二=z2(x,y) 把积分区域2投影 把积分区域2投影 到xoy坐标面上 到z轴上 6 (x,y)≤z≤2(x,y) 12=x,y)1 (x,y)∈D 2: 2: (x,y)∈Dw a≤z≤b a x/ ddx)d= 0 记作 dxdd 记作 ∫ia∬x.y.2)dxdy D 截面法的适用范围：(1)被积函数只含一个变量；(2)截面面积易求
直角坐标下的计算方法 二、 三重积分的计算 投影法（先一后二） 截面法（先二后一） 把积分区域 投影 到xoy坐标面上 1 2 ( , ) ( , ) : ( , ) xy z x y z z x y Ω x y D ( , ) 1 z z x y ( , ) 2 z z x y Dxy 把积分区域 投影 到z轴上 a b z Dz x y z O f x y z v ( , , )d Dxy dxdy 2 1 ( , ) ( , ) ( , , )d z x y z x y f x y z z 2 1 ( , ) ( , ) d d ( , , )d xy z x y z x y D x y f x y z z 记作 f x y z v ( , , )d b a ( , , )d d Dz f x y z x y d ( , , )d d z b a D z f x y z x y dz 记作 截面法的适用范围: （1）被积函数只含一个变量 ；（2）截面面积易求
二、三重积分的计算 例1.计算三重积分 xdxdydz, 例2.计算三重积分 z2dxdydz, 其中2为三个坐标面及平面 x+2y+z=1所围成的闭区域. 其中2 Z↑ 解：把积分区域2投影 解：由于被积函数只有一个变量，因此用 到xoy坐标面上，得 平行于xoy的平面去截空间闭区域2 2:0≤z≤1-x-2y 得到截面是一个椭圆，因此 0≤y≤(1-x) -c≤z≤c 0≤x≤1 2: 所以 .y2 ∬ddt-6dr心dy的 -x-2)d 所以 -JxdxQ-x-2y)dy j∬。dxdyd:=∫2d=f.dxdy -2x2+ =子a1地
二、 三重积分的计算 例1. 计算三重积分 x x y z d d d , 其中 为三个坐标面及平面 x 2y z 1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 O 解：把积分区域 投影 到xoy坐标面上，得 1 2 :0 1 2 0 (1 ) 0 1 Ω z x y y x x 所以 x x y z d d d x y z 1 2 0 d (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 48 1 例2. 计算三重积分 其中 解：由于被积函数只有一个变量，因此用 平行于xoy的平面去截空间闭区域 得到截面是一个椭圆，因此 2 2 2 2 2 2 : : 1 z c z c Ω x y z D a b c x y z a b c Dz z 所以 2 z x y z d d d Dz d xd y c c z d z 2 c c z c z 2 z π ab(1 )d 2 2 2 3 π 15 4 abc