南阳师范学院：《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章 重积分及曲线积分 9.3 二重积分的应用

§9.3 二重积分的应用 体积的 面积的 计 算 计算 反常积分 的计算

§9.3 二重积分的应用 体积的 计 算 面积的 计 算 反常积分 的计算

曲顶柱体体积的计算 回顾： 二重积分的几何意义 注记1：求曲顶柱体体积的一般步骤 (1)如果fx,y)≥0，二重积分fx,y1o 第一步：画出曲顶柱体围成的几何草图 就是曲顶柱体的体积. 第二步：确定曲顶柱体的曲顶及区边表达式 (2)如果fx,y)<0,二重积分∬fx,yo 第三步：写出曲顶柱体的表达式（利用对称性) 第四步：选择坐标系，确定积分区间 就是曲顶柱体的体积的负值， (1)区域边界应尽量多为坐标轴 (3)如果f(x,y)在D的若干部分是正的 (2)被积函数关于坐标变量易分离 在其余部分是负的，那么f(x,y)在 第五步：确定积分顺序，并计算 D上的二重积分等于xoy面上方的曲 (1)积分区域分块越少越好 顶柱体体积减去xOy面下方的曲顶柱 (2)类此积分容易出算出

一、 曲顶柱体体积的计算 回顾： 二重积分的几何意义 （1）如果 f x y ( , ) 0  ，二重积分 f x y d D  ( , ) 就是曲顶柱体的体积 （2）如果 f x y ( , ) 0  ，二重积分 f x y d D  ( , ) 就是曲顶柱体的体积的负值 （3）如果 f x y ( , )在 D 的若干部分是正的 在其余部分是负的 那么 f (x, y)在 D 上的二重积分等于 xoy面上方的曲 顶柱体体积减去 xoy面下方的曲顶柱 注记 1： 求曲顶柱体体积的一般步骤 第一步：画出曲顶柱体围成的几何草图 第二步:确定曲顶柱体的曲顶及区边表达式 第三步: 写出曲顶柱体的表达式（利用对称性） 第四步: 选择坐标系，确定积分区间 （1）区域边界应尽量多为坐标轴 （2）被积函数关于坐标变量易分离 第五步: 确定积分顺序，并计算 （1）积分区域分块越少越好 （2）类此积分容易出算出

例1求球体x2+y2+z2≤4a2被圆柱体x2+y2≤2ar的公共部分的体积. 分析：(1)画出几何草图 (3)写出曲顶柱体的表达式（利用对称性） 由对称性可知：所求立体的体积是 V=4到∬4a2-x2-y, (4)选择坐标系（极坐标），确定积分区间 该立体在第一卦限部分体积的4倍 x=pcoso 个2 (2)找出曲顶柱体的曲顶表达式及区边 将y=psinp 带入区边 由x2+y2+z2≤4a2可知z2≤4a2-x2-y2 表达式中可得 D:0≤p≤2 acosp, 由x2+y2≤2am可知y2≤2ar-x2 D 0≤p号 x2a 因此立体在第一卦限部分的曲顶为 (5)确定积分顺序并计算 =4a2-x2-y2 V=4∬V4a2-p2 pdpdo 因此立体在第一卦限部分的区边为 dod-ppdp D:y=\2ax-x2,y=0

例 1 求球体 2 2 2 2 x y z a    4 被圆柱体 2 2 x y ax   2 的公共部分的体积． 分析：（1）画出几何草图 x y z O 2a D 2a （2）找出曲顶柱体的曲顶表达式及区边 由对称性可知：所求立体的体积是 该立体在第一卦限部分体积的 4 倍 由 2 2 2 2 x y z a    4 可 知 2 2 2 2 z a x y    4 2 2 2 z a x y    4 因此立体在第一卦限部分的曲顶为 由 2 2 x y ax   2 可知 2 2 y ax x   2 因此立体在第一卦限部分的区 边为 2 D y ax x : 2 ,   y  0 （3）写出曲顶柱体的表达式（利用对称性）     D V a x y dxdy 2 2 2 4 4 ， （4）选择坐标系（极坐标），确定积分区间 将 cos sin x y          带入区边 D a : 0 2 cos     ， 表达式中可得 0 2     （5）确定积分顺序并计算 2 2 4 4 D V a d d        2 cos 2 2 2 0 0 4 4 a d a d          

例2求x2+y2=R,x2+2=R所围成的立体的体积 解：（1)显然x2+y2=R,x2+2=R2所围成的立体关于三坐标面对称， 因此立体的体积是它在第一卦限部分体积的8倍 x2+z2=R2 (2)x2+y=R,x2+z2=R所围成的立体在第一卦限部分 可以看做是以：=√R2-x为曲顶的柱体 R D (3)显然：=√R2-x在XO少面上四分之一的投影是一个圆 X2+y2=R2 0≤y≤√R-x,0≤x≤R,所以x+y=R,x2+:2=R所围成的立体在第一卦限部分 的体积就是函数：=√R-x在闭区域D:0≤y≤VR2-,0≤x≤R上的二重积分 因此所求立体的体积 V-8R-do-dopR-

例 2 求 2 2 2 2 2 2 x y R x z R     , 所围成的立体的体积 x y z O D x 2y 2R 2 x 2z 2R 2 R 解：（1）显然 2 2 2 2 2 2 x y R x z R     , 所围成的立体关于三坐标面对称， 因此立体的体积是它在第一卦限部分体积的 8 倍 （2） 2 2 2 2 2 2 x y R x z R     , 所围成的立体在第一卦限部分 可以看做是以 2 2 z R x   为曲顶的柱体 （3）显然 2 2 z R x   在 xoy 面上四分之一的投影是一个圆 2 2 0 , 0      y R x x R, 所以 2 2 2 2 2 2 x y R x z R     , 所围成的立体在第一卦限部分 的体积就是函数 2 2 z R x   在闭区域 2 2 D y R x x R : 0 , 0 .      上的二重积分 因此所求立体的体积 2 2 8 D V R x d     2 2 2 2 0 0 8 R R x dx R x dy     

二、曲面面积的计算 闭区域D的面积O公式 直角坐标系下 极坐标系下 o-川a-d a-f∬do-pdpde D:0(x)≤y≤p,(x),a≤x≤b D:a≤p≤B,p(p)≤p≤p(p) o=广=直a-a(ej达 -de ide D:Oy)≤x≤w,y),c≤y≤d D:a≤p≤B,0≤p≤p(p) a-=-%0 o=p”p-iIT]

闭区域 D的面积 公式 直角坐标系下 极坐标系下 D D     d dxdy   D D        d d d   1 2 D x y x a x b : ( ) ( ),         2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) b x b a x a dx dy x x dx            1 2 D: , ( ) ( )             2 1 ( ) 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) 2 d d d                            1 2 D y x y c y d : ( ) ( ),         2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) d y c y dy dx y y dy              D: , 0 ( )           ( ) 2 0 1 ( ) 2 d d d                       二、 曲面面积的计算