§9.2二重积分的计算 直角坐标系下二重 极坐标系下二重 积分的计算 积分的计算
§9.2 二重积分的计算 极坐标系下二重 积分的计算 直角坐标系下二重 积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算 I:o就是以D为底以曲面 D:a≤x≤b z=fx,J)】 z=fx,y)为顶的曲顶柱体的体积 0(x)≤y≤p(x) P2(x) f(x)do=严 将曲顶柱体看作是平行截面体 0p,(x) D D V={4x):a≤x≤b} f化，川 7 A(x) xnio-iaafxw =2田) 0 y=q1(）
一、 直角坐标系下二重积分的计算 D f (x, y)d 就是以D为底以曲面 z f (x, y)为顶的曲顶柱体的体积. 1 2 : ( ) ( ) D a x b x y x ( , ) D f x y d V 0 y z z f (x, y) ( ) 1 x ( ) 2 x z y x A(x) z f (x, y) ( ) 1 y x ( ) 2 y x a x b 2 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) x x A x f x y dy 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b x a x D f x y d dx f x y dy
直角坐标系下二重积分的计算 D是X-型区域 0(x)≤y≤2(x,a≤x≤b fcxdo=ifcx,w D是Y-型区域 4y)≤x≤y2(y),c≤y≤d f,dia=ofx达 D既是x-型区域 0(x)≤y≤p,(x,a≤x≤b 广fx,w-fxa 又是y-型区域 4(y)≤x≤y),c≤y≤d 通过作辅助线将其分为X-型区域 交换积分顺序 D既不是x-型区域 或y-型区域 使计算更简便 又不是y-型区域 ∬=∬++川 D. D
D 是 X 型区域 1 2 ( ) ( ), x y x a x b 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b x a x D f x y d dx f x y dy D 是Y 型区域 1 2 ( ) ( ), y x y c y d 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) d y c y D f x y d dy f x y dx D既是 X 型区域 又是Y 型区域 1 2 ( ) ( ), x y x a x b 1 2 ( ) ( ), y x y c y d 2 1 ( ) ( ) ( , ) b x a x dx f x y dy = 2 1 ( ) ( ) ( , ) d y c y dy f x y dx D既不是 X 型区域 又不是Y 型区域 通过作辅助线将其分为 X 型区域 或Y 型区域. o x y D1 D2 D3 D D D D 1 2 3 交换积分顺序 使计算更简便 一、 直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算 注记1：直角坐标下求二重积分的一般步骤 例1 计算∫(x+2y)do,其中D是由抛物线 第一步：画出闭区域的几何草图求出有 y=2x2,y=1+x2所围成的闭区域 解：画出闭区域D的几何图形.显然两抛 关的交点坐标 物线y=2x2,y=1+x2的交点为(L,2),(-1,2) 第二步：确定闭区域的类型，写出个区域的 因此D是X-区域： 不等式表达式 -1≤x≤1,2x2≤y≤1+x2 第三步：利用公式将二重化为二次积分 所以了 x+2do=∫2(x+2y)山 第四步：利用定积分的性质定理进行计算 =∫[y+y] （3r-42x+4a=君
一、 直角坐标系下二重积分的计算 注记 1： 直角坐标下求二重积分的一般步骤 第一步：画出闭区域的几何草图求出有 关的交点坐标 第二步：确定闭区域的类型，写出个区域的 不等式表达式 第三步：利用公式将二重化为二次积分 第四步：利用定积分的性质定理进行计算 例 1 计算 ( 2 ) D x y d ，其中 D 是由抛物线 2 2 y x y x 2 , 1 所围成的闭区域 解：画出闭区域 D 的几何图形. 显然两抛 物 线 2 2 y x y x 2 , 1 的交点为(1,2),( 1,2) 因此 D 是 X 区域： 2 2 1 1, 2 1 x x y x 所以 ( 2 ) D x y d 2 2 1 1 1 2 2 x x dx x y dy 2 2 1 1 2 1 2 x x xy y dx 1 4 3 2 1 3 2 1 x x x x dx 32 15
直角坐标系下二重积分的计算 例2计算∬do,其中p是直线y=1,x=2, 因此」 odo=广i y=x所围成的三角形闭区域 解：画出闭区域D的几何图形，显然直线 y=1,x=2,y=x的交点4(2,2)，B(2,1),C1,1) V (法2)显然积分区域是Y-区域： 1≤y≤2，y≤x≤2. B 01 心odo=小广 因此 (法1)显然积分区域是X-区域 1≤x≤2,1≤y≤x 8
一、 直角坐标系下二重积分的计算 例 2 计算 D xyd ，其中D是直线 y x 1, 2, y x 所围成的三角形闭区域 解：画出闭区域D的几何图形，显然直线 y x y x 1, 2, 的交点 A B C (2,2), (2,1), (1,1) x y O 1 1 2 A C B （法 1）显然积分区域是 X 区域 1 2,1 . x y x 因此 2 1 1 x D xyd dx xydy 3 2 1 2 x x dx 9 8 （法 2）显然积分区域是Y 区域： 1 2, 2. y y x 因此 2 2 1 y D xyd dy xydx 3 2 1 2 2 y y dy 9 8