r)-+)-r) △t 根据曲线的切线定义，得到P求的极限是切线上的一向量'()，它 称为曲线上一点的切向量 由于我们已规定只研究曲线的正常点，即(t)≠0，所以曲线 上一点的切向量是存在的.而这个切向量就是切线上的一个非零 向量.由以上的推导过程可以看出，这个切向量的正向和曲线的参 数t的增量方向是一致的. 现在我们导出曲线上一点的切线方程.曲 我们仍设曲线上一个切点P所对应的参数为。，P点的向径 是r(to),p={X,Y,Z}是切线上任一点的向径（如图1-9），因为 p一r(to)∥r'(to),则得P点的切线方程为，1金 p-r(to)=Ar'(to), ) D(X.Y.Z 图1-9 其中入为切线上的参数. 下面再导出用坐标表示的切线方程.设 r(to)=(x(to),y(to),z(to)), r'(to)={x'(o),y'(to),z'(to)}, 则由上述切线方程消去入得到 ·20·
X-x()±Y=)二Z-z2, x'(to) y'(to) 这是坐标表示的切线方程。 例1求圆柱螺线r(0={a6os,asin,bu在i-行处的切线 方程. 解 r(t)=(acos t,asin t,bt), r'(t)=(-asin t,acos t,b), =时，有 》侣} 》-{←以 所以切线的方程为 p-()=x'()》, 即 p=1-++(后+e 2 如果用坐标表示，则得切线方程为 a b 2 2 即 2x-a=2Y-3a= 2-0 b、 PDG -√3a ·21
经过切点而垂直于切线的平面称为曲线的法平面或法面.下 面导出曲线的法面方程. 设曲线上一点P,它所对应的参数为t6,P点的向径是r(to), p(X,Y,Z)是法面上任一点的向径（如图1-10），则由 p-r(o)⊥r'(to) P(t r(to) 图1-10 得到曲线的法面方程为 [p-r(to)]·r'(to)=0. 若设 r(to)=(x(to),y(to),z(to)}, r'(to)=(x'(to),y'(to),z(to)), 则由上述法面方程得到 [X-x(o)]x'(o)+[Y-y(o)]y'()+ [Z-z(to)]x'(to)=0, 这就是坐标表示的法面方程. 倒2求圆柱螺线r)=(os,asin,b)在1一君处的法面 方程. 解 r(t)=(acos t,asin t,bt), r'(t)={-asin t,acos t,b), ·22·
=名时，有 借）=停》 r后》={ 所以法面的方程为 [-小()=， 即 x-+(-)】 +(z-gb)b=0, 整理后得到 aX-3aY-2b2+58=0. 2.4曲线的弧长自然参数 到现在为止，我们所取的参数t一般不具有几何意义，以后在 理论问题中，我们经常用弧长作为曲线的参数， 设给出C类曲线(C): r=r(t),ma≤t≤b. 曲线(C)上对应于r(a)和r(b)的点为P。和P.在(C)上，介于P。 与P.之间，顺着t递增的次序，取n一1个点P1,P2,.,P。-1,它 们把曲线分为n个小弧段（如图1-11）.用直线段把相邻的分点 连结起来，即得一条折线，它的长是班， .PP. PDG ·23·
图1-11 我们将证明，在所设的条件下，当分点无限制地增加，同时无限制 地加“密”（即令入.=max(t:一t-1),并使得Iim入，=0）时，a,趋于与 分点的选择无关的一个确定的极限.这个极限定义为曲线段P。P 的弧长.我们还将证明，这个极限为 limo.=Jre业 (1.7) 设分点P,对应参数t:(i=0,l,2,.,n),特别地to=a,tn=b 这样， P-1P=|r(t4)-r(-1)| r(t)-r(t41) =(x(t)-x(tr1)e+(y(t)-y(t41)e2+ (z(t)-z(t))es =[x'(t)e1+y'()e2+z'(t)e](t-t4-), 其中t,(,都是-1与之间的值.令 R,='(t )e+y ()e:+()es, 这时可写成 r(t)-r(t1)=R(t-t-1). 为了证明(1.7)，我们估计以下的差： P-1P-|r'(t-1)|(t-t1) =[lR|-|r(t1)l门(t-t1). (1.8) ，24·