第一章随机事件与概率 随机试验一指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试 验有且仅有 个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试 验的确切结果。 样本点。随机试验E的每一个可能出现的结果 样本空间2一随机试验E的样本点的全体 随机事件 ·由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个 子集。 必然事件每次试验中必定发生的事件。 不可能事件⑦每次试验中一定不发生的 車件。 事包含ACB 例1事件A,B互为对立事件等价于(D 相等A=E A、A,B互不相容B、A,B相互独立C、AUB 之 对立事件，也称A的逆事件 互斥事件AB=⑦也称不相容事D、A,B构成对样本空间的一个剖分 的 件 例2设P(A)0,B为任一事件，则(C) B相互独立 B、ACBC、A与B相互独立D、A与 P(AB)=P(A)P(B) B互不相容 事事件的交AB或A门B 例1设事件A、B满足A∩B=O,由此推导不出(D) 事件的并AUB 间的 事件的差AB 注意： A、ACB B、A-B C、AUB=B D、A A-B=AB =A-AB=(AU OB=B B)B 例2若事件B与A满足B-A=B,则一定有 (B) A.A=0 B.AB=O C、A= D、B=不 A1,A2.An构成2的一个完备事件组（或分斥或划分） 指A1,A2,.,An两两互不相容 且UA-n 方换律ALUB=BA AB=B0A 运算法 结合律(AUB)UC=AU(BUC) (AOB)OC=AO(BOC) 分配律(AUB)nC=(AC)UBC)(AnB)UC=(AUC)nBUC) 对偶律AUB=40B40B=AUB 事件与集合论的对应关系表 记号概率论 集合论 Q样本空间，必然事件 全集 e 不可能事件 空集 基本事件 事件 全集中的一个子集
第一章 随机事件与概率 基 本 概 念 随机试验 E-指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试 验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试 验的确切结果。 样本点 -随机试验 E 的每一个可能出现的结果 样本空间 -随机试验 E 的样本点的全体 随机事件-由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个 子集。 必然事件-每次试验中必定发生的事件。 不可能事件 -每次试验中一定不发生的 事件。 事 件 之 间 的 关 系 包含 AB 相等 A=B 对立事件，也称 A 的逆事件 互斥事件AB=也称不相容事 件 A ， B 相 互 独 立 P(AB)=P(A)P(B) 例 1 事件 A，B 互为对立事件等价于（ D ） A、A，B 互不相容 B、A，B 相互独立 C、A∪B＝ Ω D、A，B 构成对样本空间的一个剖分 例 2 设 P(A)=0，B 为任一事件，则（ C ） A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容 事 件 之 间 的 运 算 事件的交 AB 或 A∩B 例 1 设事件 A、B 满足 A∩B¯ =，由此推导不出 (D) A、AB B、A¯ B¯ C、A∪B=B D、A ∩B=B 例 2 若事件 B 与 A 满足 B – A=B，则一定有 (B) A、A= B、AB= C、AB¯ = D、B=A¯ 事件的并 A∪B 事件的差 A-B 注意： A-B = A B = A-AB = (A∪ B)-B A1,A2,.,An构成 的一个完备事件组(或分斥或划分)⎯⎯指A1,A2,.,An两两互不相容， 且 n i=1 Ai= 运 算 法 则 交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A 结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 对偶律 A B = A B A B = A B 事件与集合论的对应关系表 记号 概率论 集合论 样本空间，必然事件 全集 不可能事件 空集 基本事件 元素 A 事件 全集中的一个子集
A的对立事件 A的补集 ACB事件A发生导致事件B发生 A是B的子集 A=B事件A与事件B相等 A与B相等 AUB事件A与事件B至少有一个发生 A与B的并街 AB 事件A与事件B同时发生 A与B的 A-B 事件A发生但事件B不发 A与B的差集 AB=O事件A与事件B互不相容（互斥） A与B没有相同的元素 古典概型的前提是例1设3个球任意投到四个杯中去，向杯中球的个数最多为 Q=401.02.03 的事件 n为有限正整数，且每 3个球共有43种放入法，所 个样本点O:出现的可能 性相等。 ()当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯 二每个杯子恰有 :则P(A 典概型 PAA包含样本总个数 样本点总数 则P(A2=36/64=9/16 10的概率p1:(2)三数之积为21的倍数的概率p2 解：p=4 C3C5+C3 321 前提是如果在某一区域例1把长度为的棒任意折成三段，求它们可以构成一个 Q任取一·点，而所取的 角形的概率。 点落在？中任意两个度 解1：设折得的三段长度分别为xy和axy,那么，样本空间 量相等的子区域的可能 (xy)0 sa,0s a 0s 性是 ysa) 而随机事件A: 一样的 角形”相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则，得 若AC2, 到联立方程组， K-V<x+tv A的度量 则PAF Ω的度星 a-X-y+v 解得0号，0y<号， ca-X-y+x 3即G=yM0x号，0号，号 <xtv<a 由图中计算面积之比，可得到相应的几何 概率PA4。口 古典概)非负性， 对于 个事件A,有P(A20: 型基本(2)规范性PF1或P②=0： 性质 (3)有限可加性：对两两互斥事件A1,A2,.An有P(A1UA2U.UAn=P(A)H P(A)+P(A)
A A 的对立事件 A 的补集 AB 事件 A 发生导致事件 B 发生 A 是 B 的子集 A=B 事件 A 与事件 B 相等 A 与 B 相等 A∪B 事件 A 与事件 B 至少有一个发生 A 与 B 的并集 AB 事件 A 与事件 B 同时发生 A 与 B 的交集 A-B 事件 A 发生但事件 B 不发生 A 与 B 的差集 AB= 事件 A 与事件 B 互不相容（互斥） A 与 B 没有相同的元素 古 典 概 型 古典概型的前提是 ={1, 2, 3,., n,}, n 为有限正整数，且每 个样本点 i 出现的可能 性相等。 例 1 设 3 个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为 1 个的事件 A1，最多为 2 个的事件 A2 的概率。 [解]：每个球有 4 种放入法，3 个球共有 4 3 种放入法，所以 ||=43=64。 (1)当杯中球的个数最多为 1 个时，相当于四个杯中取 3 个杯 子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|= C4 3 3！=24；则 P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为 2 个时，相当于四个杯中 有 1 个杯子恰有 2 个球(C4 1 C3 2 )，另有一个杯子恰有 1 个球(C3 1 C1 1 )，所以|A2|= C4 1 C3 2 C3 1 C1 1 =36；则 P(A2)=36/64 =9/16 例 2 从 1,2,.,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为 10 的概率 p1；(2)三数之积为 21 的倍数的概率 p2。 [解]：p1= 4 C9 3 = 1 21 , p2= C3 1C5 1 +C3 2 C9 3 = 3 14 P(A)=A包含样本总个数 样本点总数 = |A| || 几 何 概 型 前提是如果在某一区域 任取一点，而所取的 点落在 中任意两个度 量相等的子区域的可能 性是一样的。 若 A， 则 P(A)= A的度量 的度量 例 1 把长度为 a 的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三 角形的概率。 [解]：设折得的三段长度分别为 x,y 和 a-x-y，那么，样本空间， S={(x,y)|0xa,0ya,0a-x-ya}。而随机事件 A：”三段构成 三角形”相应的区域 G 应满足两边之和大于第三边的原则，得 到联立方程组， a-x-y<x+y x<a-x-y+y y<a-x-y+x 解 得 0<x< a 2 , 0<y< a 2 , a 2 <x+y<a 。即 G={(x,y)| 0<x<a 2 , 0<y< a 2 , a 2 <x+y<a } 由图中计算面积之比，可得到相应的几何 概率 P(A)= 1/4。 古典概 型基本 性质 (1)非负性，对于任一个事件 A，有 P(A)0; (2)规范性:P()=1 或 P()=0; (3)有限可加性：对两两互斥事件 A1,A2,.,An 有 P(A1∪A2∪.∪An)=P(A1)+ P(A2)+.+ P(An)
概率的要求函数P(A)满足以下公理： 理化 1)非负性，有PA)≥0 定义 2)规范性P21 3)可列可加性：对两两互斥事件A1,A,.A有PA1UAU.UAn)=P(AI P(A2)+.+P(An) 求逆公式P(A)F1-P(A) 概率公 加法公式P(AUB)-P(AHPB)P(AB) P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B=P(APAB,当AsB时，有P(A-B)=P(APB) 注意：A-B=AB=A-AB=(AUBB 条件橘率公式：PAB)PAB):PBPO) P(B) PAB)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。 乘法公式：P(AB=P(A)P(BIA)=P(B)P(AB)(其中P(A)PO,PB)PO) 概率 一般有P(ABC=PA)PBA)P(CAB)(其中PAB)PO) 公式 全摄率公式：PBF立) 其中A1,A2,An构成2的一个分斥 贝叶断公式：PAMB片PEP-PBA4)P4) P(B) ∑PB1A)P(A)
概率的 公理化 定义 要求函数 P(A)满足以下公理： (1)非负性，有 P(A)0; (2)规范性:P()=1; (3)可列可加性：对两两互斥事件 A1,A2,.,An 有 P(A1∪A2∪.∪An)=P(A1)+ P(A2)+.+ P(An) 概 率 公 式 求逆公式 P( A )=1- P(A) 加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当 AB 时，有 P(A-B)=P(A)-P(B) 注意： A-B = A B ‾ = A-AB = (A∪B)-B 概 率 公 式 条件概率公式：P(A|B)=P(AB) P(B) ; (P(B)>0) P(A|B)表示事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。 乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中 P(A)>0, P(B)>0) 一般有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中 P(AB)>0) 全概率公式：P(B)= = n i 1 P(B|Ai)P(Ai) 其中 A1,A2,.,An构成 的一个分斥。 贝叶斯公式：P(Ak|B)= P(B|Ak)P(Ak) P(B) = = n k k k k k P B A P A P B A P A 1 ( | ) ( ) ( | ) ( )
例1设两两相互独立的三个事件A,B和C满足条件：ABC=⑦，PA=PB=P(CK12,且】 P(AUBUC=9/16,则P(A月 P(A UBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-[P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC), 令PA)FX则3x-3x2=9/16三16x2.16x+3=0三x=14或3/4（舍去）则P(A)=14 例2某射击队共有20个射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四 级射手1人，一、 三、四级射手能够进入正式比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5和 02,求任选一名选手能进入正式比赛的概率。 应I解：设A=选中第k级选手，k=123.4,B=进入正式比赛。由己知PA1=15.P(A2广25 PA3F720. P(A4120: P(BIAI)0.9, PBA20.7,PBA3=0.5, PB1A4)F0.2 P(B)=P(AI)P(BIAI)+ P(A2)P(BA2)+ P(A3)P(BA3H P(A4)PBA4F1/5x0.9+2/5×0.7+720x0.5+1/20×0.2=0.645 例3某物品成箱出售，每箱20件，假设各箱中含0、1件次品的概率分别为0.8和0.2， 一顾客在购买时，他可以开箱，从箱中任取三件检查，当这三件都是合格品时，顾客 才买下该箱物品， 否则退货。试求：()顾客买下该箱的概率α： (2)顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率阝· 解1：设事件A0一箱中0件次品，A1一箱中1件次品，事件B一买下该箱。由己知 PA0=0.8.PA1=0.2. PBAo)FL,PBA1F1920×18/19×17/18=17/20 ()=P(B)=P(Ao)PBAoP(A1)P(BA1=0.8×1+0.2x720=0.97 (2)B=P(AoB)=P(AoB)P(B)=P(Ao)P(BAoyP(B)-0.8/0.97=0.8247 如果事件A与事件B满足P(ABFP(A)PB),则称事件A与事件B相互独立。 结论：1.如果P(APO,则事件A与B独立一PBA=PB) 2.事件A与事件B独立一事件A与事件B独立 的独立 一事件A与事件B独立口事件A与事件B独立 事件A1,A2,.,Am相互独立-指任意k个事件A1,A2,Ak满足P(A∩A2∩Ak) =P(A)P(A)PA,其中k=2,3n 可 元件的可靠性P(A)可 系统的可靠性：串联方式P(A1∩A2n.∩AnF 性 并联方式P(A1UA2U.UAn=11-rr 指在相同条件下进行次试验：每次试验的结果有且仅有两种A与A:各次试验是相 努里 互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)p,P(AFl-p 概型 二项概率-在n重独立试验中，事件A恰好发生k次的概率为bk:n,p,则 b(k:n.p)=Cnp*(1-p)-k(k=0.1.2.3.n)
应 用 题 例 1 设两两相互独立的三个事件 A, B 和 C 满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2, 且 已知 P(A∪B∪C)=9/16，则 P(A)= 。 [解]: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC), 令 P(A)=x, 则 3x –3x2=9/16 16x2 -16x+3=0 x=1/4 或 3/4(舍去) 则 P(A)=1/4 例 2 某射击队共有 20 个射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四 级射手 1 人，一、二、三、四级射手能够进入正式比赛的概率分别是 0.9、0.7、0.5 和 0.2，求任选一名选手能进入正式比赛的概率。 [解]:设 Ak=选中第 k 级选手, k=1,2,3,4，B=进入正式比赛。由已知 P(A1)=1/5, P(A2)=2/5, P(A3)=7/20, P(A4)=1/20; P(B|A1)=0.9, P(B|A2)=0.7, P(B|A3)=0.5, P(B|A4)=0.2. P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)+ P(A4)P(B|A4)=1/50.9+2/50.7+7/200.5+1/200.2=0.645 例 3 某物品成箱出售，每箱 20 件，假设各箱中含 0、1 件次品的概率分别为 0.8 和 0.2， 一顾客在购买时，他可以开箱，从箱中任取三件检查，当这三件都是合格品时，顾客 才买下该箱物品，否则退货。试求：（1）顾客买下该箱的概率 ； （2）顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率 。 [解]:设事件 A0—箱中 0 件次品, A1—箱中 1 件次品，事件 B—买下该箱。由已知 P(A0)=0.8, P(A1)=0.2, P(B|A0)=1, P(B|A1)=19/20 18/19 17/18=17/20, (1) =P(B)= P(A0)P(B|A0)+ P(A1)P(B|A1)=0.81+0.27/20=0.97 ; (2) =P(A0|B)= P(A0B)/P(B)= P(A0)P(B|A0)/P(B)=0.8/0.97= 0.8247 事 件 的 独 立 性 如果事件 A 与事件 B 满足 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立。 结论：1. 如果 P(A)>0，则事件 A 与 B 独立 P(B|A)=P(B) 2. 事件 A 与事件 B 独立 事件 A 与事件B ‾ 独立 事件A ‾ 与事件 B 独立 事件A ‾ 与事件B ‾ 独立 事件 A1,A2,.,An相互独立-指任意 k 个事件 Ai1,Ai2,.,Aik满足 P(Ai1∩Ai2∩.∩Aik) =P( Ai1)P(Ai2).P(Aik)，其中 k=2,3,.,n。 可 靠 性 元件的可靠性 P(A)=r 系统的可靠性： 串联方式 P(A1∩A2∩.∩An)=rn 并联方式 P(A1∪A2∪.∪An)=1-(1-r)n , 贝 努 里 概 型 指在相同条件下进行 n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种 A 与A ‾ ；各次试验是相 互独立；每次试验的结果发生的概率相同 P(A)=p, P(A ‾ )=1-p。 二项概率-在 n 重独立试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 b(k;n,p)，则 b(k;n,p)= Cn k p k (1-p)n-k (k=0,1,2,3,.,n)