现在 IRI-Ir(1=IRE-Ir() R+r R-[r'(t-1)]2 1R+F(1)' 上式中 R-[r'(t1)]月 ={[x'(4)]+[y'()]+[x'()]}- {[x'(t-1)]+[y'(t-1)]2+[z(t1)]} =([x'(t)]-[x'(t-1)]}+{[y'()] [y(t-1)])+{[z(g)]2-[2'(t1)], 此式右端的三项中，第一项是 [x'(t4)]2-[x'(t-1)] =[x'(t)+x'(t-1)][x'(t)-x'(t)] 其余两项是有关y和z的对应项.由于 |R,=√[x(4)]+[y()]+[z()] ≥x'(t)|, |r'(t)川=√[x'(1)]2+[y'(-1)]+[z(t-1)]2 ≥x'(41)|,@1从达 因此 lzrd)+es1 1=W小≤1. |R:|+r'(t1) ≤R1+17(4) 与此同时，有关y和x的两个不等式也成立.根据以上计算，即得 |IR-|r'(t1)|≤|x'(t)-x'(t-1)|+ 1y()-y(-)1+z()-2(1)1.(1.9) 由于x'(t),y(t),x'(t)在闭区间[a,b]上是连续的，从而也是一致 连续的.因此，已给e>0,当n充分大，而每一个小区间[t-1,t]充 分短时， ·25·
|x'(t)-x'(t)|<e, |y'()-y'(t-)|<e, lz'()-z'(t1)|<e 因此，在这个情况下，根据(1.8)与(1.9)有 |P-1P-r'(t1)|(t-t1)|<3e(t-4-1), 中左 此时 lo-(1 ≤21PE-rl4- <2-) 显中，中的左过 =3e(b-a), 即有 lim.-m =o业. 如果我们以a(t)表示从r(a)到r(t)的弧长，即 dD-fIr(Oldt, 在此式中由于积分的上限大于下限，所得到的曲线的弧长总是 正值. 现在我们定义一新函数s(t),使 (t)，当t>a时， s(t)= 0,回当t=a时， (一(t),当t<a时， ·26·
lro)d,当t≥a s(t)= (1.10) ,r()d,当t<a. 在此式中我们取t值可以大于a,也可以小于a,因此s(t)也 可能取负值，并按上述规定，：增加的方向就是3增加的方向.总 之，s表示为积分上限t的函数 s=s(t). 从(1.10)可以推出 s'(t)=|r'(t)|>0. 由此可见，函数s()是t的单调递增函数.因而函数s(t)的反函数 存在，设此反函数为t=t(s).把它代入曲线的方程r=r(t)中得到 以s为参数的曲线方程 r=r(s), 即 (x=x(s), y=y(s), Iz=z(s). 我们把s称为曲线的自然参数，上式就是曲线的自然参数表示式 从(1.10)可以得出 ds=r'(t)dt, (1.11) 或 ds=r'dt2 =dr2, .(1.12) 或 ds2 dx2+dy2+dz2. (1.13) 由(1.12)还可以推出 dr 1rol==1, (1.14) 即向径关于自然参数的微商的模等于1.也就是说，引进自然参数 s后，切向量'(s)是单位向量.这个导向量称为单位切向量. ·27·
以后我们用“点”代替“撇”表示向量函数对于自然参数的微 商.例如 =,:=,等等 西ds ds2 例3求双曲螺线r={acosh t,asinh t,at}从t=0起计算的 弧长. r=(acosh t,asinh t,at), r'=(asinh t,acosh t,a). 从t=0起计算的弧长为 o-.Ir(ld-d -小v后sin+Gcos1+ad山 (s cosh idt -八+aosh7d =√2 asinh t. 习题 1.对于圆柱螺线x=cost,y=sint,x=t,求它在点(1,0,0)的切线和法面. 2.求三次挠曲线r={at,br2,c)在点o的切线和法面， 3.证明圆柱螺线r={acos0,asin,bd)(-o∞<0<十∞)的切线和x轴 成固定角 :4求悬链线（如第4题图）r={，化acosh二}(-o<K十⊙)从：=0起 计算的弧长. W5,求抛物线y=bx2对应于一a≤x≤a的一段的弧长. 6.求星形线（如第6题图）x=acost,y=asin3t的弧长. PDG ·28·
(第4题图)》 (第6题图) 7.求旋轮线x=a(t-sint),y=a(1一cost)的0≤t≤2x一段的孤长 8.求圆柱螺线x=3 acos t,y=3 asint,之=4at从它与xy平面的交点到 任意点M(t)的弧长。 求线2=32=在平面y号与y9之间的弧长。 l0.将圆柱螺线r={acos t,asin t,br}化为自然参数表示 11.求用极坐标方程p=p()给定的曲线的弧长表达式. §3空间曲线 这一节，我们研究空间曲线的基本理论，主要将研究刻画空间 曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠 率，以及研究空间曲线在一点邻近的近似形状，并找出决定空间曲 线的条件 3.1空间曲线的密切平面 在§2里我们已经讨论过，在C类曲线的正常点处，总存在 一条切线，它是最贴近曲线的直线.下面我们将指出，对于一条C 类空间曲线而言，过曲线上一点有无数多个切平面，其中有一个最 ·29·