《线性代数》课程教学资源（应用案例）行列式应用案例

第一章行列式应用17个案例 案例1某工厂生产甲、乙、丙三种钢制品，已知甲种产品的钢材利用率为60%， 乙种产品的钢材利用率为70%，丙种产品的钢材利用率为80%.年进钢材总吨 位为100吨，年产品总吨位为67吨。此外甲乙两种产品必须配套生产，乙产品 成品总重量是甲产品成品总重量的70%还已知生产甲乙丙三种产品每吨位可获 得利润分别是1万元，1.5万元，2万元。问该工厂本年度可获利润多少万元？ 解：设生产甲、乙、丙三种钢制品分别用料为x,y,:吨，则由题意可列出方程组： x+y+z=100 0.6x+0.7y+0.8z=67 0.6x×0.7-0.7y=0 x+y+:=100 将方程组化简，得6x+7y+8z=670 3x-5y=0 111 其系数行列式D=678=13≠0 3-50 根据克莱姆法则，方程组有唯一解 解得D=650,D,=390,D,=260 所以x=50,y=30,z=20。 总利润为50×0.6×1+30×0.7×1.5+20×0.8×2=93.5万元 案例2某商店经营四类商品，四个月的销售额及利润额如表11所示，求每类商 品的销售利润率。 表 A类 B类 C类 D类 总利润 40 80 100 274 40 70 90 258 50 80 100 28.9 4月 50 60 90 29.1 解：设A,B,C,D四类产品的利润率分别为x,x,x4

第一章 行列式应用 17 个案例 案例 1 某工厂生产甲、乙、丙三种钢制品，已知甲种产品的钢材利用率为 60%， 乙种产品的钢材利用率为 70%，丙种产品的钢材利用率为 80%．年进钢材总吨 位为 100 吨，年产品总吨位为 67 吨。此外甲乙两种产品必须配套生产，乙产品 成品总重量是甲产品成品总重量的 70%。还已知生产甲乙丙三种产品每吨位可获 得利润分别是 1 万元，1.5 万元，2 万元。问该工厂本年度可获利润多少万元？ 解：设生产甲、乙、丙三种钢制品分别用料为 x y z , , 吨，则由题意可列出方程组： 100 0.6 0.7 0.8 67 0.6 0.7 0.7 0 x y z x y z x y               ， 将方程组化简，得 100 6 7 8 670 3 5 0 x y z x y z x y              其系数行列式 111 6 7 8 13 0 3 5 0 D     根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 3 D D D    650, 390, 260 所以 x y z    50, 30, 20。 总利润为 50 0.6 1 30 0.7 1.5 20 0.8 2 93.5          万元。 案例 2 某商店经营四类商品，四个月的销售额及利润额如表 1-1 所示，求每类商 品的销售利润率。 表 1-1 A 类 B 类 C 类 D 类 总利润 1 月 40 60 80 100 27.4 2 月 40 60 70 90 25.8 3 月 50 60 80 100 28.9 4 月 50 60 90 90 29.1 解：设 A，B，C，D 四类产品的利润率分别为 1 2 3 4 x x x x , , ,

40x+60x2+80x3+100x=27.4 40x+60x、+70x,+90x.=258 则由题意可列出方程组： 50x+60x2+80x3+100x,=28.9 50x+60x3+90x+90x4=29.1 2x+3x2+4x+5x,=137 将方程组化简，得、 4x+6x2+7x1+9x4=2.58 5x+6x+8x+10x-2.89 5x+6x、+9x3+9x,=2.91 2345 其系数行列式D= 4679 56810 =6≠0 5699 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得D=0.9,D,=0.72,D,=0.54,D=0.42。 所以x=15%,x=12%5=9%,=7%及A,B,C,D四类产品的利润率分别是 x=15%,为2=12%，x=9%,x4=7% 案例3设在一次投料生产中能获得四种产品，通过四次测试，每次测试的总成本 及产品数量如表1-2所示，求每种产品的单位成本。 表1-2 A B C D 总成本/元 第1批生产/ka 300 40 20 20 1160 第2批生产/kg 500 24 60 4380 第3批生产/kg 400 180 100 100 3400 第4批生产/kg100 120 180 40 2420 解：设A,B,C,D四种产品的单位成本分别为x,x,则由题意可列出方 [300x+40x,+20x+20x,=1160 500x+240x,+160x3+60x4=4380 程组： 400x+180x2+100x+100x=3400 100x1+120x2+180x3+40x4=2420 15x+2x2+x1+x4=58 将方程组化简，得25+12x+8x+3玩，=219 20x.+9x、+5x,+5x.=170 5x+6x2+9x3+2x4=121

则由题意可列出方程组： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 40 60 80 100 27.4 40 60 70 90 25.8 50 60 80 100 28.9 50 60 90 90 29.1 x x x x x x x x x x x x x x x x                        ， 将方程组化简，得 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 1.37 4 6 7 9 2.58 5 6 8 10 2.89 5 6 9 9 2.91 x x x x x x x x x x x x x x x x                        其系数行列式 2 3 4 5 4 6 7 9 6 0 5 6 8 10 5 6 9 9 D    根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 3 4 D D D D     0.9, 0.72, 0.54, 0.42。 所以 1 2 3 4 x x x x     15%, 12%, 9%, 7%. 及 A,B,C,D 四类产品的利润率分别是 1 2 3 4 x x x x     15%, 12%, 9%, 7%. 案例 3 设在一次投料生产中能获得四种产品，通过四次测试，每次测试的总成本 及产品数量如表 1-2 所示，求每种产品的单位成本。 表 1-2 A B C D 总成本∕元 第 1 批生产∕kg 300 40 20 20 1160 第 2 批生产∕kg 500 240 160 60 4380 第 3 批生产∕kg 400 180 100 100 3400 第 4 批生产∕kg 100 120 180 40 2420 解：设 A，B，C，D 四种产品的单位成本分别为 1 2 3 4 x x x x , , , ，则由题意可列出方 程组： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 300 40 20 20 1160 500 240 160 60 4380 400 180 100 100 3400 100 120 180 40 2420 x x x x x x x x x x x x x x x x                        ， 将方程组化简，得 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 15 2 58 25 12 8 3 219 20 9 5 5 170 5 6 9 2 121 x x x x x x x x x x x x x x x x                       

1521 其系数行列式D= 251283 2095 -1275≠0 5692 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得D=-2550,D,=-12750,D=-6375,D,=-3825。 所以x=2,=10,x=5,x=3.及A,B,C,D四种产品的单位成本分别是2元/kg 10元/kg、5元/kg、3元/kg 案例4江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等。 如果用两台抽水机抽水，40分钟可以抽完：如果用四台抽水机，16分钟可抽完。 如果需在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台？ 解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，每台抽水机每分钟可抽水c立方米，由此再设x台抽水机抽完水需t分 a+40b-80c=0 钟，则依题意，即得{a+16b-64c=0 a+tb-xtc=0 这是一个关于a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系 140-80 数行列式D=1 16-0晨开、得1=因为1<10所以9s10,解 11 -xt 之得：x≥6，所以如果在10分钟内抽完水，至少需要抽水机6台。 案例5有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克： 乙种化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克：丙种化肥每千克含氮70克， 磷5克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷149克，钾 30克，问三种化肥各需多少千克？ 解：设甲、乙、丙三种化肥各需x,x2,x千克，依题意得方程组 「x+x3+x=23 8x,+10x2+5x,=149 2x+0.6x2+1.4x3=30

其系数行列式 15 2 1 1 25 12 8 3 1275 0 20 9 5 5 5 6 9 2 D     根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 3 4 D D D D         2550, 12750, 6375, 3825。 所以 1 2 3 4 x x x x     2, 10, 5, 3. 及 A,B,C,D 四种产品的单位成本分别是 2 元∕kg、 10 元∕kg、5 元∕kg、3 元∕kg。 案例 4 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等。 如果用两台抽水机抽水，40 分钟可以抽完；如果用四台抽水机，16 分钟可抽完。 如果需在 10 分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台？ 解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为 a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为 b 立方米，每台抽水机每分钟可抽水 c 立方米，由此再设 x 台抽水机抽完水需 t 分 钟，则依题意，即得 40 80 0 16 64 0 0 a b c a b c a tb xtc               这是一个关于 a,b,c 为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系 数行列式 1 40 80 1 16 64 0 1 D t xt      展开，得 160 3 2 t x   因为 t 10, 所以 160 10 3 2 x   ，解 之得： x  6 ，所以如果在 10 分钟内抽完水，至少需要抽水机 6 台。 案例 5 有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮 70 克，磷 8 克，钾 2 克； 乙种化肥每千克含氮 64 克，磷 10 克，钾 0.6 克；丙种化肥每千克含氮 70 克， 磷 5 克，钾 1.4 克.若把此三种化肥混合，要求总重量 23 千克且含磷 149 克，钾 30 克，问三种化肥各需多少千克？ 解：设甲、乙、丙三种化肥各需 1 2 3 x x x , , 千克，依题意得方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 23 8 10 5 149 2 0.6 1.4 30 x x x x x x x x x              

此方程组的系数行列式D-号又0=-A=-27凸=-81 由克莱姆法则知，此方程组有唯一解：x=3x=5,x=15.即甲、乙、丙三种化 肥各需3千克，5千克，15千克。 案例6今将奶糖，巧克力糖，水果糖按不同比例混合成A,B,C三种糖果。A种 糖果的混合比为4：3：2，B种糖果的混合比为3：1：6，C种糖果的混合比为 2:5:1,要从A、B、C三种糖果中各取多少千克才能做成含有奶糖，巧克力 糖，水果糖数量相等的混合糖果50kg。 解：设A种糖果xkg,B种糖果ykg,C种糖果zkg, 则依题意得方程组 后+*-9 3 |432 9108 ,其系数行列式D 910 0 2 h 50 261 5x+0y+82=3 91o 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解将A=经A=说A= 35 所以x：因此ABC三果各取智e罗才 能做成含有奶糖，巧克力糖，水果糖数量相等的混合糖果50水g。 案例7给定平面上三个点(1,1)，(2，-1)，(3,1)，求过这三个点且对称轴与Y 轴平行的抛物线方程。 c+b+a=1 解：设所求抛物线方程为y=c+bx+a2,于是有c+2b+4a=-1,其系数行列 c+3b+9a=1 111 是范德蒙行列式D=124=(3-23-1(2-1)=2,所以方程组有唯一解，易 139 得D=14,D=-16,D=4,故c=7,b=-8a=2,于是所求抛物线方程为

此方程组的系数行列式 27 , 5 D   又 1 2 3 81, 27, 81 5 D D D       由克莱姆法则知，此方程组有唯一解： 1 2 3 x x x    3, 5, 15. 即甲、乙、丙三种化 肥各需 3 千克，5 千克，15 千克。 案例 6 今将奶糖,巧克力糖，水果糖按不同比例混合成 A，B，C 三种糖果。A 种 糖果的混合比为 4：3：2，B 种糖果的混合比为 3：1：6，C 种糖果的混合比为 2：5：1，要从 A、B、C 三种糖果中各取多少千克才能做成含有奶糖，巧克力 糖，水果糖数量相等的混合糖果 50kg。 解：设 A 种糖果 xkg，B 种糖果 ykg，C 种糖果 zkg， 则依题意得方程组 4 3 2 50 9 10 8 3 3 1 5 50 9 10 8 3 2 6 1 50 9 10 8 3 x y z x y z x y z                   ，其系数行列式 432 9 10 8 3 1 5 7 0 9 10 8 80 261 9 10 8 D     根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 3 35 175 35 , , 24 108 27 D D D       。 所以 50 500 400 , , 3 27 27 x y z    。因此 A,B,C 三种糖果各取 50 500 400 , , 3 27 27 kg kg kg 才 能做成含有奶糖，巧克力糖，水果糖数量相等的混合糖果 50kg。 案例 7 给定平面上三个点（1,1），（2，-1），（3,1），求过这三个点且对称轴与 Y 轴平行的抛物线方程。 解：设所求抛物线方程为 2 y c bx ax    , 于是有 1 2 4 1 3 9 1 c b a c b a c b a                ，其系数行列 是范德蒙行列式 1 1 1 1 2 4 (3 2)(3 1)(2 1) 2 1 3 9 D       ，所以方程组有唯一解，易 得 1 2 3 D D D     14, 16, 4, 故 c b a     7, 8, 2 ，于是所求抛物线方程为

y=7-8x+2x2. 案例8己知直流电路如图所示，求各支路电流，2,4 解：由电路理论知，在每一结点处，流入的电流的和等于流出的电流的和：在每 一个闭合回路，电压的代数和等于电压降的代数和。 故有：(B点处与A点处方程同)。 -+=0(4点处)， 4i+2i=8(回路) 2+5=9Ⅲ回路) 此方程的系数行列式D=420=38,又 02 A=38=7%=38故得，4=号=4=会=24-号 . 案例9.某公司主管与职员两类，其月薪分别为5000元与2500元，以前公司每月 支出6万元，现在经营状况不佳，为将月工资支出减少到3.8万元，公司决定将 主管月薪降到4000元，并裁减2/5的职员，问公司原有主管与职员各多少人？ 解：设公司原有主管x人，职员y人 则依题意得方程组 04+025x0.6y=38'其系数行列式D=0:02 0.5x+0.25y=6 040.15=-0025 根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得D=-0.05,D=-0.5。 所以x=2,y=20。因此公司原有主管2人，职员20人. 案例10.某商场销售三种产品，其销售原则是，每种产品销售10套以下不打折， 10套（含10套）以上打9.5折，20套（含20套）以上打9折，有三家公司采 购各种产品，其数量总价见下表：问各种产品原价是多少？

2 y x x    7 8 2 . 案例 8 已知直流电路如图所示，求各支路电流 1 2 3 i i i , , . 解：由电路理论知，在每一结点处，流入的电流的和等于流出的电流的和；在每 一个闭合回路，电压的代数和等于电压降的代数和。 故有：（B 点处与 A 点处方程同）。 1 2 3 1 2 2 3 0( 4 2 8( 2 5 9(II i i i A i i I i i             点处）， 回路）, 回路）. 此方程的系数行列式 1 1 1 4 2 0 38 0 2 5 D    ，又 1 2 3 D D D    38, 76, 38, 故得， 1 2 3 1 2 3 1, 2, 1. D D D i i i D D D       案例 9.某公司主管与职员两类，其月薪分别为 5000 元与 2500 元，以前公司每月 支出 6 万元，现在经营状况不佳，为将月工资支出减少到 3.8 万元，公司决定将 主管月薪降到 4000 元，并裁减 2∕5 的职员，问公司原有主管与职员各多少人？ 解：设公司原有主管 x 人,职员 y 人. 则依题意得方程组 0.5 0.25 6 0.4 0.25 0.6 3.8 x y x y         ，其系数行列式 0.5 0.25 0.025 0.4 0.15 D    根据克莱姆法则，方程组有唯一解。 解得 1 2 D D     0.05, 0.5。 所以 x y   2, 20 。因此公司原有主管 2 人，职员 20 人. 案例 10.某商场销售三种产品，其销售原则是，每种产品销售 10 套以下不打折， 10 套（含 10 套）以上打 9.5 折，20 套（含 20 套）以上打 9 折，有三家公司采 购各种产品，其数量总价见下表：问各种产品原价是多少？