(I=x(t), y=y(t), a<t<b. (1.6) z=z(t), (1.6)称为曲线的参数表示或参数方程，t称为曲线的参数.装 例如，我们已经知道开圆弧是开直线段的像，取开直线段为 (0,2x),则在xy平面上，开圆弧的参数方程为 fx acos t, 其中a为圆的半径. 开的椭圆弧的参数方程为 (x=acos t, 0<t<2m. y=bsin t, 对于圆柱螺线，我们可以这样建立它的参数方程.设直圆柱底 半径为a,在长方形中斜线与长方形的一边的夹角为P。(如图 1-5).由圆柱螺线上任一点M作xy平面的垂线为MN.设ON 与Ox轴的夹角为t,则有AN=at,MN=attan o=bt(设b= atan o).于是圆柱螺线的参数方程为 [x acos t, y asin t, a一∞<t<十∞.钟圈过树 lz=bt, 图1-5 ·15· PDG
由于向量函数r(t)可表示为r(t)=x(t)e1十y(t)e2+x(t)e, 因而曲线的参数方程(1.6)也可以写成向量函数的形式： r=r(t), a<t<b. 这就是说，在空间中给定一个点O,以这个点作为始点放上对于t 的所有值的向量r(t),于是对于t的每个值，我们得到确定的向量 OM=r(t)(如图1-6)，它的始点是点O,而终点M则与t值有关， 当t在(a,b)内变化时，点M在空间中画出一条轨迹，这就是由参 数t所给定的曲线.点M的向量表达式称为曲线的向量参数 表示. M 以遍 图1-6 例如圆（挖掉(a,0)点）的向量参数表示式是 r=(acos t,asin t), 0<t<2π， 即 r=a(cos t)e+a(sin t)e2, 0<t<2π. 椭圆（挖掉(a,0)点）的向量参数表示式是 r=(acos t,bsin t), 0<t<2π， 5 r=a(cos t)e +b(sin t)e2,0<t2n. 圆柱螺线的向量参数表示式是 PDG r=(acos t,asin t,bt), -∞<t<+∞， 即 ·16·
r=a(cos t)e +a(sin t)e2 +btes, -o∞<t<十∞. 2.2光滑曲线曲线的正常点 示来来到氏 楼如果曲线的参数表示式选而，(》1干由武因甚 升的 〔x=x(t),位而武自政论1注)灯一 y=y(t),a<t<b (z=z(t), 半 r=r(t),a<t<b 中的函数是k阶连续可微的函数，则把这曲线称为C类曲线.当 k=1时，也就是C类的曲线又称为光滑曲线， 给出C类的曲线r=r(t),假设对于曲线r=r(t)上一点 (t=to)有 11r(to)≠0，酸周干 则这一点称为曲线的正常点，2。 3=注意条件r(t)≠0表示x'(to),y'(t),之(ta)中至少有个 不等于零. 以后我们只考虑曲线的正常点，即假设r(t)≠0，实际上 r'(t)=0是很特殊的.如果在一段曲线上r'(t)=0,则r(t)变成常 向量，这时这段曲线缩成一点，所以一段曲线上()=0的点一般 是孤立点.曲线(C)上所有点都是正常点时，则称(C)为正则曲线， 给出曲线 r=r(t), a<t<b, 即 (x=x(t), y=y(t), a<t之b, Iz=z(t), 则在曲线的正常点（例如，设x'(t。)≠0）的充分小邻域里，曲线可 由形如 ·17·
y=(x), x=(x) 的方程来表示 这是因为由于r'(to)≠0，而我们假设x()≠0，于是函数 x=x(t)在t6邻近有连续而可微的反函数t=t(x).把它代人 |y=y(t), z=z(t) 中得 |y=y(t(x), 类曲z=x(t(x),西的中 即 y=(x),1类曲出 之=(x). 例如对于圆柱螺线r(t)={acos t,asin t,bt}(一c∞<t< 十o∞)有r(t)=(-asin t,acost,b).由于b≠0所以在曲线上任 何t值r'(6)≠0，因此圆柱螺线上的点都是正常点，因而由之=bt 得出t=方，把它代人 (x=acos t,的*县=(1) ly asin t 中得 洲点点 [=acos 尖曲￥ y=ain 这是圆柱螺线的另一种表示法. 2.3曲线的切线和法面 给出曲线上一点P,点Q是P的邻近一点（如图1-7），把割 ·18·
图1-7在0 线PQ绕P点旋转，使Q点沿曲线趋近于P点，若割线PQ趋近 于一定的位置，则我们把这个割线PQ的极限位置称为曲线在P 点的切线.而定点P称为切点.直观上看，切线是通过切点的所有 直线当中最贴近曲线的直线. 设曲线的参数方程是饮 r=r(t); 1 切点P对应参数to,Q点对应参数to十△t(如图1-8)，则有 PQ=r(t6十△t)-r(to). r'(to) P(to) C(o+△) r(to) ro+△) 图1-8 在割线PQ上作向量P京，使得 P求=r+△)-r(,)坐 ,(△t 当Q→P(即△t→0)时，若r()在6可微，则由向量函数的微商可 得向量PR的极限 ·19·