S2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标
§2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标
一、线性组合 在向量线性运算的基础上，讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1对于向量口1，口2，口m和口，若存 在m 个数口1，口2.，口m’使得： 0=001+0202+.+0m0m 则称口是口1，口2，口m的线性组合，口1，口2. 或者称向量口可由向量组口1，口2，口m线性表 酴系教零向量是任何一组向量组的线性组合
一、线性组合 在向量线性运算的基础上,讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1 对于向量 1 , 2 ,., m 和 ，若存 在m 个数 1 , 2 ,. , m ，使得： = 1 1 + 2 2 + .+ m m 则称 是 1 , 2 ,., m 的线性组合， 1 , 2 ,. , m 称 为说明： 组合系数(1)零向量是任何一组向量组的线性组合 。 . 或者称向量 可由向量组 1 , 2 ,., m 线性表 示
例1设n维向量 e1=(1,0,4,0) e2=(0,1,4,0) LLLLLL en=(0,0,4,1) 4=(a1,2,4,4n)是任意一个n维向量，由于 a =(a,aL ,a)=ae+aez+age;+L +a,en 运常称e1,e2,4,en为n雅单位生标向量组. (2)任一维向量a可由维单位坐标向量组e1,e2,L,em 线性表示出来
通常称 为n维单位坐标向量组
2.向量a能否由向量组a1,L,am线性表出可转化 为线性方程组有没有解的问题. x a+xa2+74+x an=b 9 i e/Gj=L2L,n 仓4i gwǘ i4x+42火3+比+a4wx,=b ebù 马+a25+L+ax,=b LLLLLLLLL (* b= ú amx +anex+L+amn=bm
①)b可由向量组a1,a,La,线性表示0线性方程组(*) 有解 (2)b不能由向量a1,a2La,线性表示0线性方程组(*) 无解 3.一般地，b与a1,a,L,的关系为下列三种情况之一 (I)b可由a1L,am线性表示，且表示法唯一。 (2)b可由a1L,4线性表示，但表示法不唯一。 (3)b不能由a1L,am线性表示