第二节 数量积向量积*混合积 一、 两向量的数量积 二、 两向量的向量积 *三、向量的混合积 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为了，则力F所做的功为 W =F cose 1.定义 设向量a,b的夹角为0，称 M M 记作 a B cos0 a.B W=F.5 为a与的数量积（点积） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos W F s = M2 a b 为a与b的 a, b s 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当a≠0时，b在a上的投影为 |方cos0记作Pri,万 故 a.B=a Prin b 同理，当≠0时， a.b=bPrja 2.性质 a≠0，i≠0 (1)a.a-a2 则a.b=0 (2)a,为两个非零向量，则有 0 db=0三a⊥b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
b 在a上的投影为 记作 故 同理,当 0 时, b 2. 性质 为两个非零向量, 则有 ba b Prj a b = a Prja b (1) a a = (2) a,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a 0, b 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.运算律 (1)交换律a.b=ba (2)结合律(2,4为实数) (2-b=a:(2b=2(ab b） (2a)(ub)=2(a·(ub) =2u(a.b) Prjea Prje b (3)分配律(a+b)d=a.c+b元 Prjc(@+B) 事实上，当c=可时，显然成立，当c≠0时 (a+b)@=Prjz(a+B)=|(Prjca+PrjeB) Prjra+Prjab =a.c+b. HIGH EDUCATION PRESS Oe0C08 机动目录上页下页返回结束
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a )( b) = ( a ( b)) = (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c 0时 c (a + b) b a bc a Prj c Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Prj + Prj = c Prj c a + c Prj c b = a c + b c Prj (a b) c + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明三角形余弦定理 c2 a2+62-2abcos0 证：如图.设 CB=a,CA=b,AB=c 则 c-a-b c=(反-g-)=aa+b.b-2a万 a+32-2 ablcoso a=a,b=b,c=7 c2 a2 +b2 -2abcos0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
A B C a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, CA = b, AB = c = 2 c ( a − b)( a − b)= a a + b b − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c 机动 目录 上页 下页 返回 结束