第三节 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 HIGH EDUCATION PRESS DeOC8 机动目录上页下页返回结束
第三节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程
一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(x,y0,2)且垂直于非零向 量=(A,B,C),求该平面的方程 任取点M(x,y,z)eΠ，则有 MoM Ln 故 MoM.n=0 MoM=(x-x0,y-0,2-z0) A(x-x0)+B(y-y0)+C(2-2o)=0 称@式为平面Π的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
z y x o M0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M M ⊥n 0 0 M0M n = 则有 故 称 n 为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面血的法向量为 2 n=MM2×MM3 M M3 -34 -6 *M2 -23-1 =(14,9,-1) 又M,∈·，利用点法式得平面Π的方程 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 即 14x+9y-z-15=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
i j k = 例1.求过三点 , 又M1 = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M 2 M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 -3 4 -6=0 -2 3-1 一般情况：过三点M(xk,yk,2k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-x1 y-1 2-21 x2-x1y2-1 22-21 三0 X3-X1 y⅓-y1 23-21 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别，当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c) 时，平面方程为 x+y+2=1(a,b,c≠0) a b c 此式称为平面的截距式方程！ 分析：利用三点式 X一 -a 按第一行展开得(x-a)bc-y(-a)c+zab=0 即 bcx acy +abz abc HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + =1 c z b y a x 时, (a ,b,c 0) (x − a)bc − y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c 机动 目录 上页 下页 返回 结束