存在，则由(1.4)式可知积分 ) ∫red 存在且等于 r(Ddt=ex(Ddi+ey(Ddi+e(di. ,以下我们只证明1°，其余的结果请读者自己证明.2 由于 [r(Ddt=ex(Ddt+ey(di+e"(Ddt, 若a<c<b时，根据实函数的积分性质可得 eJx(Dd:+ey(Dd:+e"z(Dd -d+-(DdJ+o[y(d+SyDdi]+ s[eed+∫a] =e广x(d+eay(e)d+e∫广z(ed+e广x(o)d+ ey(D)dt+e=(Ddi =∫r(et+red 下面我们介绍有关向量函数的两个命题，这两个命题在以后 要用到 我们在这里假定所给出的向量函数具有所需要的各阶连续 微商. 命题6向量函数r(t)具有固定长的充要条件是对于t的每 一个值，r(t)都与r(t)垂直. 证明由所给条件|r(t)|=常数，有 r2(t)=r(t)|2=常数. 上式对t求微分得 ·10· PDG
2r(t)·r'(t)=0, 由此得到 r(t)⊥r'(t) 反之，如果r()·()=0,则有 0=0 因而得到 产()=常数， 即 r(t)=常数 特别地，对于可微的单位向量函数r(t)(即|r()|=1),有 r(t)⊥r'(t). 为了介绍以下命题，我们先引入关于向量函数r(:)对于变量： 的旋转速度的概念.这个旋转速度对于t的不同的值一般来说具 有不同的值. 我们给出以下定义：给t以增量△t,用△p表示由向量r(t)和 r1+△)所组成的角（如图1-1），作成比值会9，当△趋于零时， 则？的极限就叫做向量函数r()对于它的变量：的旋转速度， △t 命题7单位向量函数r(t)(即r(t)=1)关于t的旋转速度 等于其微商的模引r'(). 证明把r(t),r(1十△)移动到同一个始点O(如图1-2)，以 O为圆心画单位圆，它通过r(t)和r(t十△)的终点M、M,则两个 向量的夹角大小等于MM的长度.于是有 AMM'MM'MM' △MM' 因为 ·11 PDG
014 +△) +△) 图1-1 图1-2 r(t+△)-r(t)=MM, 所以有 1鸭M产兰r(t4△)上r),恢t 于是 r(t+△t)-r(t) MM' △t MM 自馆国深 由于当△：趋于零时有 MM' =，2=1： 2sin Ag 因此 △g r(t+△)-r(t)|MM △ MM =r'(t) ,大向 1.证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 2.求证常向量的微商等于零向量 3.证明 ·12 PDG
70@-owt9 () 4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其 微商为零，则此向量在该区间是常向量。 5.证明r()具有固定方向的充要条件是rXr=0. 6.证明r()平行于固定平面的充要条件是(r,/,”)=0. §2曲线的概念 曲线是微分几何所研究的主要对象之一，因而我们需要首先 弄清楚曲线的概念 2.1曲线的概念 为了定义曲线的概念，先介绍一些关于映射的知识. 给出两个集合E和E',如果集合E中的每一个点（或称元素） x,有E中的点x'和它对应，则我们说给定了E到E'的一个映射 f.x'称为点x的像，x称为x'的原像. 对于任取集合E中的点x1和x2,如果x1≠x2时有f(x1)子 f(x2),则称映射∫是一一的（或称单的）.苏小帕意 在欧氏空间中给出两个集合E,E,对于E中的任灯个点xo 和任一个数e>0,存在数8>0，使得对于E中与x。的距离小于6 的任意一点x来说，点f(x)与f(xo)间的距离小于e,则称映射f 为连续的。 如果f(E)=E,我们就说∫是从E到E的在上映射（或称满 映射)，也就是说在f的作用下把E变到整个E'上去 下面建立简单曲线的概念 如果一个开的直线段到三维欧氏空间内建立的对应f是一 一的，双方连续的在上映射（这种映射称为拓扑映射或同胚），则我 们把三维欧氏空间中的映射的像称为简单曲线段.例如开的直线 ·13 PDG
段映射到开圆弧（即圆周的一部分），这种映射是一一的，双方连续 的在上映射（如图1-3），因此开圆弧是简单曲线段 念期心图1-3 又例如在一张长方形的纸上画一条斜的直线（如图1-4），然 后把这张纸卷成圆柱面，则直线成为圆柱螺线。因而圆柱螺线是简 单曲线段。 图1-4 对任意曲线的“小范围”的研究，总可以作为简单曲线段来研 究.我们以后所讨论的曲线都是简单曲线段，不另作声明. 根据上述曲线的概念，我们可以确立曲线的方程，在直线段上 引入坐标t(a<t<b),在空间中引入笛卡儿直角坐标(x,y,z),则 上述映射的解析表达式是 [x=f(t), yg(),a<t<6. (1.5) z=h(t), 习惯上，经常把(15)中的函数关系符号f,g,h分别写成x,y,z, 这样，(1.5)可写为 ·14· PDG