区间<<：时，命题也成立).一上1 1.3向量函数的微商 设r()是定义在区间4≤t≤b2上的一个向量函数.设 to∈(t1,t2),如果极限2 lim (At)r() 存在，则称r(t)在。点是可微分的，这个极限称为r(t)在t。点的 微商（或号矢）用（出），或r。)表示，即 (倍)=r)=m (t6+△t)-r(to】 △t 如果r()在某个开区间的每一点都有微商存在，则我们说 r(t)在此区间内是可微的或简称向量函数r(t)是可微的，它的微 商记为r'(t). 对子向量函数的微分法有以下命题： 命题3设r(t),s(),u(t)分别是可微的向量函数，入(t)是可 微的实函数，则入(t)r(t),r(t)士s(t),r(t)Xs(t),r(t)·s(t), (r(t),s(t),u(t)都是可微的，并且 (r)'=+'r, (r士s)'=r士s, (rxs)'=r xs+rxs', (r,s)'=r·s+r·s', (r,5,u)=(r',s,w)+(r,s',)+(r,s,u). 这些公式的证明和数学分析中实函数的对应公式的证明相 似，但是应该注意的是向量的向量积和混合积跟向量的次序有关， 不能把次序任意交换.作为例子，我们证明后面三个结果. 商 (rXs)'=limr+△9×s1+△)-r0X0e △酒 ·5
-im+△)-ro]Xse+A+ r()×[s1+△)-s()]烧西墨回8.上 △ =mu+2-@xnr+a)+ imrw×m+40,-s@ =r'(t)X s(t)+r(t)xs'(t). r·s)'=lim+△）·s+△)-r(0·s △t =-+)-r1s+△+ △t r(t)·[s(t+△)-s(t)] 4 △t i四r0·m+4)-s0 △t =r()·s()十r(t)·s().1.0,e% 由上面的结果可以得到 (r,s,u)'=[(rXs)·a] =(rXs)'u+(rXs)·u =[rXs+rXs]·u+(rXs)·a =(r'Xs)·u+(rXs)·u+(rXs)u =(r',s,)+(r,s',4)+(r,s,u). 向量函数r(t)的微商r()仍为t的一个向量函数，如果函数 r'(t)也是连续的和可微的，则r'(t)的微商r”(t)称为r(t)的二阶 微商.类似地可以定义三阶、四阶等等的微商.在区间[4，]上有 直到k阶连续微商的函数称为这区间上的k次可微函数或C类 函数，连续函数也称为C类函数，无限可微的函数记为C类函 ·6 PDG
数.解析函数记为C类函数. 设e,e,e是笛卡儿直角坐标系的三个基向量，向量函数 r(t)可以表示为 r(t)=x(t)e+y(t)e2+z(t)es, 所以每一个向量函数r(t)与三个有序实函数组{x(t),y(t),z(t)》一 一对应. 命题4，如果向量函数r(t)在[t1t2]上是C类函数，则向量 函数所对应的三个实函数x(t),y(t),x(t)在[41，t2]上是C类 函数.8 证明将r(t)=x(t)e1十y(t)e2十z(t)e两边点乘e1得 x(t)=r(t)·e. 由于e1是常向量，而r(t)是C类函数，所以x(t)是C类函数. 同理可证y(t),(t)是C类函数. 1.4向量函数的泰勒(Taylor)公式 定理设向量函数r(t)在[to,to十△]上是C+类函数，则有 泰勒展开式 r+A=r)+△r')+ru,)++ 2! (△t) 1)+ +nr"()+&,A, (△t)+1 代店的液函量回 其中△1→0时，e(to,△t)→0. 证明向量函数r()可表示为时义金出价得装南量向 r(t)=x(t)e+y(t)e2 +z(t)es. 由已知条件在[to,6+△]上有r(t)∈C+1,所以在[，十△]上 有x(t),y(t),z(t)∈C+,根据实函数的泰勒公式得知 x(。+a)z)+△ao)+21)+.士 (△t) xm(to)十 (△)1 n! m+Drwa+e,ae. ·7 PDG
a西%+0=)+aw留yo卡-千 曾ya+y+6a. (6+△)=6)+△z(6)+2,()++0 i)20)+a) n！ ()) 把上式分别乘以e1,ea,e再相加，则得到所求的向量函数的泰勒 公式成 r+a)=r)+ar)+ar,)+.+ 2! (△)r()+ (△t)t1 n！ a+r-u6)+e,an. 当r(t)∈C时，我们就可以把它展成泰勒级数，即 r+A)=r)+Ar'（)+A)+.+ 2 ()r()+., n！ 上述泰勒级数是收敛的。 1.5向量函数的积分 向量函数的积分的定义和实函数的情形相同，即 r=m2rea-a小 其中a=to,.,tn-1,tn=b表示区间[a,b们的分点，6是区间 (t-1,4)中的任一点，当n→o∞时，|t,一t4-1→0. 如果向量函数r(t)=x(t)e1+y(t)e2十(t)e是可积的，则有 r(t)dt =(x(t)e,+y(t)e:+z(t)es)dt ·8 PDG
=e广x(e)d+e广yd年e2(e),. 即 [r(Ddt-ox(Ddt+e[x(Ddt+efz(Ddt. 由此可得出有关向量函数积分的命题：b 命题5如果向量函数r(t)是区间[a,b]上的连续函数，则 积分 r(e)dts=地a 存在，并且 月0图论联是，闭8一 1°a<c<b时有 d-rd+. 2°m是常数时有 mr ()(dr. 3°如果m是常向量，则有 Jmrd=m·Jr)d, mxr0d=mxra业 4是[raw]=ra. 证明向量函数可以表示为 r()=x()e,+y0e+z()e.里in(1.4) 根据命题4可知若r(t)在[a,b们上是连续函数(C类函数)， 则x(t),y(t),(t)在[a,b]上也是连续函数(C类函数.前 再由实函数的积分定理可知，在区间[a,b们上连续的实函数在 该区间上是可积的，即积分 d.ydt.Dd 19 PDG