1.3等周不等式.257 14四顶点定理4.4.260 1.5.等宽曲线.262 1.6平面上的Crofton公式.264 S2空间曲线的整体性质.268 2.1 Fenchel定理.268 2.2球面上的Croffon公式.27 2.3 Fary-Milne0r定理 278 2.4闭曲线的全挠率 282 §3曲面的整体性质.286 3.1曲面的整体定义 286 3.2曲面的一般性质.291 3.3卵形面.294 3.4完备曲面.313 3.5负常高曲率的曲面.321 S4.完备曲面的比较定理.330 4.1完备曲面上的极坐标系 4330 4,2比较定理.332 4.3完备曲面上的比较定理 .336 名词索引.344
第一章 1 曲线论 湿命的的关性摇 §1向量函数 在本书的学习中，要广泛地应用向量分析的知识，因此在这里 对向量分析的基本内容作简单扼要的介绍.(、 首先介绍向量函数的概念. 给出一点集G,如果对于G中每一个点x,有一个确定的向量 r和它对应，则我们说，在G上给定了一个向量函数，记作 r=r(x),x∈G. 例如，设G是实数轴上一区间to≤≤，则得一元向量函数 r=r(t). 设G是一平面域，(u,v)∈G,则得二元向量函数 r=r(u,). 设G是空间中一区域，(x,y,z)∈G,则得三元向量函数 r=r(z,y,z). 正如数学分析中对实函数所讨论的那样，我们也对向量函数 引进极限、连续、微商和积分等概念.) 1.1向量函数的极限 ·设r()是所给的一元向量函数，a是常向量（即长度与方向都 固定的向量)，如果对任意给定的ε>0，都存在数>0，使得当0< 。1
|t-to|<8时 成立，则我们说，当一%时，向量西数0道于极限。记作爵 r(t)-a<e limr(t)=a. (1.1) 有关数量函数的极限性质，都可以推广到向量函数的情况，从 而得到类似的命题. 命题1如果r(t)和s(t)是两个一元向量函数，λ(t)是一个实 函数，并且当t→6时这些函数的值趋向极限 r(t)→a,s(t)→b,A(t)→m, 即|r(t)-a→0，|s(t)-b川→0，|(t)-m→0，则有 (1)两个向量函数之和（差）的极限等于极限之和（差）： r(t)士s(t)→a士b. (2)乘积(t)r(t)(数量乘向量)的极限等干极限的乘积： A(t)r(t)→ma. (3)数量积r(t)·s(t)的极限等于极限的数量积： r(t)·s(t)→a.1 (4)向量积r()×s(t)的极限等于极限的向量积： r(t)Xs(t)→aXb.量D 证明这些命题的证明原则上和数学分析中关于实函数所对 应的命题的证明没有什么区别. (1) |(r(t)±s(t)-(a±b) =|(r(t)一a)土(s(t)-b)川中同量 ≤|r(t)-a|+s(t)-bl, 当t→t6时，由已知条件|r(t)一a→0，s(t)-b|→0，有 |(r(t)土s(t))-(a士b)→0， % r(t)士s(t)→a士b. (2)作出向量的差 A(t)r(t)-ma =A(t)(r(t)-a)+((t)-m)a, 由此得出到 ·2 PDG
λ(t)r(t)-ma|≤|a(t)|lr(t)-a+|λ(t)-ma, 当t→o时，由已知条件|r(t)一a|→0，A(t)一m→0及静H由 |a(t)|+|m,a|是常数， 有 (t)r(t)一ma|+0,量向个两达 即 A(t)r()→ma.。明，则0字千 (3)作出数量差 r(t)·s(t)-a·b=(r(t)-a)·s(t)+(s(t)-b)·a, 由此得出 |r(t)·s(t)-a·b|≤|(r(t)-a)·s(t)|+ (1.2) |(s(t)-b)·a. 因为任何两个向量p、q的数量积p·q=|p|q|cos(pg),所以 |p·q≤pHql. 因此，如果p趋于零（即|p一0），而g趋于确定的极限q(此时有 |q→|q),那么不等式的右边趋向于零.这时有 一出斜， p·q|→0. 因而当一女时，我们由已知条件 |r()-a→0，ls(a)l→1bl, 知不等式(1.2)右边第一项有 |(r(t)-a)·s(t)→0， 同理 1(s()-b)·a→0.者号 于是得到 |r(t).s(t)一a·b|巴0， 即 ,凌测 r(t)·s(t)→a·b. (4)作出向量的差 r(t)Xs(t)-axb=(r(t)-a)xs(t)+ PDG ·3·
ax (s(t)+b),no 由此得出员一 r(t)xs(t)-axb(r(t)-a)x s(t)+ ax (s(t)-b). (1.3) 因为两个向量p和q的向量积的模|p×g=|p|q· sin(四)l,所以p×g≤pllg.因此，如果|p→0，而|g趋 于确定的极限，则|p×q→0. 把这个结论应用到不等式(1.3)的右边，便有当时，由 已知条件可得到 |r(t)×s(t)-a×b→0， 即 r(t)Xs(t)→aXb. 1.2向量函数的连续性)。 有了向量函数的极限概念，我们就可以引进向量函数的连缕 性概念.给出一元向量函数r(t),当t→to时，若向量函数r(t) r(to),则称向量函数r(t)在to点是连续的， 利用极限的定义，我们把向量函数r()在。连续的定义可表 示为 limr(t)=r(to). 一 不 如果r(t)在区间≤t≤2的每一点都连续，则称r(t)在区间 t≤t≤t2上是连续①的. 利用命题1的结果，我们可以得到： 命题2如果r(t)和s(t)是在点t。连续的向量函数，而入(t) 是在点to连续的实函数，则向量函数r()士s(t),入(t)r(),r(t)× s(t)和实函数r(t)·s(t)也都在点to连续（把命题中的点6改为 ①在端点=和t=处指的是右连续和左连续。 ·4· PDG