尽贵又出丽出你的为 第一版前言 这本教材是我们多年来讲授微分几何课所用的讲义，根据高 等师范院校微分几何教学大纲的要求，整理修改而成。其中第一、 二章曾在1966年前反复讲授多遍，第三章只在近年来才讲过。 微分几何是一门历史悠久的学科。可以这样说，微积分诞生 时就同时诞生了微分几何，不过这门学科的生命力至今还很旺盛。 近年来它对数学中其他分支的影响越来越深刻，对于自然科学中 其他学科的影响的范围也越来越扩大。与此同时，这门学科本身 从内容上到方法上也在不断更新。作为一本教科书应该尽可能地 反映这样一种发展趋势。但是由于高等师范院校数学专业教学计 划中所给予微分几何这门课的课时的限制，不可能完全满足这样 的要求。我们的想法是，从内容上来说还是讲授微分几何中最基 础的部分 一三维欧氏空问中的曲线和曲面的局部理论，可是从 方法上来说则加以更新。这样做将使学生能够从较浅显的内容去 学习近代的处理方法，对新方法接受起来阻力比较小一些；另一方 面，对于微分几何有兴趣的学生，在掌握了新方法以后，就可以通 过选修课或讨论班进一步运用这些方法去学习微分几何的近代 内容。 在这本教材里作为新的方法来说，我们的目的是介绍法国数 学家嘉当(E.Cartan)的活动标架法，同时介绍相应的数学工 具一外微分形式。不过为了使学生容易接受，开始时我们还是 用向量分析的方法讲授三维欧氏空间的曲线和曲面的局部理论， 到了曲面论的基本定理和曲面上的内蕴几何部分，由于用向量符 号表达起来不方便，我们采用了张量符号，使学生稍稍接触一些张
量分析的方法。最后，我们在第三章里用嘉当的活动标架法把曲 线论和曲面论又复习一遍，使学生既学习了新方法，同时又加深对 已学过的知识的理解。 杭州大学的白正国教授和北京师范天学的朱鼎勋教授在审查 这本教材时提出了不少宝贵的意见，我们谨在此表示衷心的感谢。 同时希望使用这本教材的兄弟院校的同志对教材中的错误缺点和 不足之处给予批评指正。 梅向明黄敬之八心 1981年4月于北京师范学院数学系 PDG
方头是一滨的面曲 目 1种录 第一章：曲线论 .1 §1向量函数 .1 1.1向量函数的极限 .1 1.2向量函数的连续性 .4 1.3向量函数的微商.5 1.4向量函数的泰勒(Taylor)公式.7 1.5向量函数的积分.8 §2.曲线的概念.13 2.1曲线的概念.13 2.2光滑曲线曲线的正常点.17 2.3曲线的切线和法面.18 2.4曲线的弧长一自然参数.23 S3空间曲线.29 3.1空间曲线的密切平面.29 3.2空间曲线的基本三棱形.33 3.3空间曲线的曲率，挠率和伏雷内(Frenet)公式.37 3.4空间曲线在一点邻近的结构.44 3.5空间曲线论的基本定理.一.48 3.6一般螺线. .52 第二章曲面论.57 S1曲面的概念. 57 1.1简单曲面及其参数表示.57 1.2光滑曲面曲面的切平面和法线. 60
1.3曲面上的曲线族和曲线网.66 §2曲面的第一基本形式.69 2.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长. 69 2.2曲面上两方向的交角 72 2.3正交曲线族和正交轨线 73 2.4曲面域的面积.74 2.5等距变换.76 2.6保角变换.79 §3曲面的第二基本形式.82 3.1曲面的第二基本形式.82 3.2曲面上曲线的曲率.87 3.3迪潘(Dupin)指标线.9引 3.4曲面的渐近方向和共轭方向.93 3.5曲面的主方向和曲率线.96 3.6曲面的主曲率、高斯(Gauss)曲率和平均曲率100 3.7曲面在一点邻近的结构 .105 3.8高斯曲率的几何意义 .109 §4直纹面和可展曲面.115 4.1直纹面.115 4.2可展曲面.120 4.3线汇.129 S5曲面论的基本定理.131 5.1曲面的基本方程和克里斯托费尔(Christoffel)符号.132 5.2曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯-科达齐-迈因 纳尔迪(Gauss-Codazzi-Mainardi)公式.135 5.3曲面论的基本定理.140 §6曲面上的测地线. .146 6.1曲面上曲线的测地曲率.146 6.2曲面上的测地线
6.3曲面上的半测地坐标网 152 6.4曲面上测地线的短程性 .154 6.5.高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公式. .158 6.6曲面上向量的平行移动. 161 ”6.7极小曲面.167 S7.常高斯曲率的曲面.172 7.1常高斯曲率的曲面.172 7.2伪球面.174 7.3罗氏几何.178 第三章外微分形式和活动标架 .185 S1外微分形式. 185 1.1格拉斯曼(Grassmann)代数 .185 1.2外徽分形式. .190 1.3弗罗贝尼乌斯(Frobenius)定理.199 S2活动标架.214 2.1合同变换群.214 2.2活动标架 .217 2.3活动标架法.226 S3用活动标架法研究曲面.229 3.1曲面论的基本定理.229 3.2曲面的第一和第二基本形式.230 3.3 曲面上的曲线法曲率测地曲率和测地挠率.231 3.4曲面的主曲率欧拉公式高斯曲率和平均曲率.234 3.5曲面上向量的平行移动.236 3.6闭曲面的高斯-波涅公式.239 第四章整体微分几何初步 .24 §1平面曲线的整体性质.24 1.】旋转数. 245 1.2凸曲线.251