01曲线的凹凸性与拐点COAOR人邮教育定理3.12设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,那么(1)若对"xi (a,b),fx)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若对"xi(a,b),fx)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的
定理3.12 设 在 上连续, 在 内二阶可导,那么 (1)若对 , 则 在 上的图形是凹的; (2)若对 , 则 在 上的图形是凸的. 6 01 曲线的凹凸性与拐点
01COA0曲线的凹凸性与拐点人邮教育PG求函数凹凸区间和拐点的步骤(1)确定函数的定义域(2)求出函数的二阶导数,并解出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点划分区间(3)依次判断每个区间上的二阶导数的符号，利用定理3.12判断每个区间的凹凸性，并进一步求出拐点坐标
求函数凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求出函数的二阶导数,并解出二阶导数为零的点和二 阶导数不存在的点,划分区间; 判断每个区间的凹凸性,并进一步求出拐点坐标. (3)依次判断每个区间上的二阶导数的符号, 利用定理3.12 7 01 曲线的凹凸性与拐点
01COA0曲线的凹凸性与拐点R人邮教育判定曲线y=lnx的凹凸性例0解定义域为（0,+￥）：(vC所以曲线=lnx在（0,+￥）是凸的
8 判定曲线 的凹凸性. 定义域为 ， ， 例 1 解 01 曲线的凹凸性与拐点 所以曲线 在 是凸的
01曲线的凹凸性与拐点CO0人邮教育R2讨论曲线=sinx在[0,2元]上的凹凸性例香解因为ye=cosx，y=-sinx，所以在(0，元)内，y<0，该曲线是凸的；在(元,2元）内，>0，该曲线是凹的
9 ， 例 2 解 01 曲线的凹凸性与拐点 讨论曲线 在 上的凹凸性. 在 内， ，该曲线是凸的； 在 ，该曲线是凹的. 内， 因为 ，所以