例6. 求im 2+2x+5 x→00 x+3 1.3 一十 解 因为 x+3 lim- -=0 →0x2+2x+5 lim-x x? x→0 .5 1+ 十 所以 x2+2x+5 lim =00 x→0 x+3 0 n<m 结论 1imar”+ax++a 2= g n=m x∞bx”+bxm+…+b b 0 n>m 其中，a,b≠0
例 6．求 2 2 5 lim x 3 x x → x + + + 解 因为 2 3 lim x 2 5 x → x x + + + 2 2 1 3 lim 0 2 5 1 x x x x x → + = = + + 所以 2 2 5 lim x 3 x x → x + + = + 结 论 1 0 1 1 0 1 lim n n n m m x m a x a x a b x b x b − → − + + + = + + + 0 0 0 n m a n m b n m = 其中， 0 0 a b, 0
例7.求limx(Wx2+2-x) 解1imxN2+2-)=1mV+2-x+2+ x)+0 √x2+2+x 2x 2 lim- -lim -=1 x+0√x2+2+ x→+0 2 ++ 例8.求1im 解】 3 x2-x-2 lim- x-2 x(x+1(x2-x+0,1x2-x+1 lim x-lim 2 x→-1 x→-1 -1-2为 lim x2-limx+lim 1 (-1)2-(-1)+1 x→-1 x→>-1 x→-1
例 7．求 2 lim ( 2 ) x x x x →+ + − 解 2 lim ( 2 ) x x x x →+ + − 2 2 2 ( 2 )( 2 ) lim 2 x x x x x x x x →+ + − + + = + + 2 2 2 2 lim lim 1 2 2 1 1 x x x x x x →+ →+ = = = + + + + 例 8．求 3 1 1 3 lim x→− x x 1 1 − + + 解 3 1 1 3 lim x→− x x 1 1 − + + 2 2 1 2 lim ( 1)( 1) x x x →− x x x − − = + − + 2 1 2 lim x 1 x →− x x − = − + 1 1 2 2 1 1 1 lim lim 2 1 2 1 lim lim lim1 ( 1) ( 1) 1 x x x x x x x x →− →− →− →− →− − − − = = = − − + − − − +
x2-1 例9.f(x)=了x-1 x<1 求Iimf(x) x2+1x≥1 解f(1-0)=lim x2-1 x灯x-1 lim (x-1x+D=lim(x+1)=2 x→>1f x-1 x-→1 f(1+0)=lim(x2+1)=2 故 f(1-0)=f(1+0)=2 所以 lim f(x)=2
例 9． 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 x x f x x x x − = − + ，求 1 lim ( ) x f x → 解 2 1 1 (1 0) lim x 1 x f x → − − − = − 1 1 ( 1)( 1) lim lim( 1) 2 x x 1 x x x x → → − − − + = = + = − 2 1 (1 0) lim( 1) 2 x f x → + + = + = 故 f f (1 0) (1 0) 2 − = + = 所以 1 lim ( ) 2 x f x → =
四.两个重要的极限 1. lim sinx =1 x→0 X 例1.求1im tanx x→0 解 tan x inx lim lim( 1 )=lim sin x.limc 一=1 x→0 x x0 COSX 1 例2.求limxsin X→00 解 令1=1，x→o时，t→0，于是 1 sin- 1 limxsin=lim- x=lim si 1=1 x→0 Xx-→∞ 1 t→0 x
四．两个重要的极限 1． 0 sin lim 1 x x → x = 例１．求 0 tan lim x x → x 解 0 0 0 0 tan sin 1 sin 1 lim lim( ) lim lim 1 cos cos x x x x x x x → → → → x x x x x = = = 例２．求 1 lim sin x x → x 解 令 1 t x = ，x →时，t → 0，于是 0 1 sin 1 sin lim sin lim lim 1 x x t 1 t x x x t x → → → = = =
例3.求1im sin mx(m,n≠0) x-→0 sinnx sinmx lim sinmx 解 lim sinmx =lim mx= m x0 mx m x→0 sin nx x0 nx sinnx n lim sinnx n nx x→0 nx 例4.求1im 1-cosx x→>0 2 2sin2 解 1-cosx 1 sin- 1 lim lim 21 lim 2 x-→0 x→0 x0 X -2 2
例３．求 0 sin lim ( , 0) x sin mx m n → nx 解 0 0 sin sin lim lim x x sin sin mx mx mx mx nx nx nx nx → → = 0 0 sin lim sin lim x x mx m m mx n n nx nx → → = = 例４．求 2 0 1 cos lim x x → x − 解 2 0 1 cos lim x x → x − 2 2 0 2sin 2 lim x x → x = 2 0 sin 1 2 lim 2 2 x x → x = 1 2 =