第一章函数与极限习题1-11.求下列函数的自然定义域：1(1)y=/3x+2(2) y=142:1(3) y=→- /-;(4) y=3V4-x(5)y=sin/z;(6)y=tan(x+1):（8)y=/3-x+arelan-(7)y=arcsin(x-3):(10) y=et,(9) y=ln(x+1);2.下列各题中，函数x）和g（x）是否相同？为什么？(1)(x)=lg x,g(x)=2lg x;(2)(x)=*, g(x)=/;(3) (x)=/-.g(x)=x/x-1：(4)(x)=1,g(x)=secx-tanx3.设1xl<[Isin x].30(x)=Ix≥0,3求() () (-)），（-2），并作出函数y=（x）的图形4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1) y,(-,1);(2)y=x+lnx，(0,+).5.设（x)为定义在（-1,1)内的奇函数，若x)在（0,1)内单调增加，证明(x)在（-1,0）内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间（-1，）上的.证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？(1) y=x(1-r);(2)y=3x*-x;1-x2(3) y=(4) y=x(x-1)(x+1):1+231(6) y=g*+a"(5)y=sin x-cos x+l;2.16
第一节映射与函数8.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(1)y=cos(x-2);(2)y=cos4x;(3)y=1+sin x;(4)y=xcosx:(5)y=sinx.9.求下列函数的反函数：1-x(1) y= Vx+I :(2) y1+$(3) y=ax+6（ad-bc±0);(4)y=2sin 3x(cx+d2'(6) y(5)y=1+ln(x+2):2°+110.设函数x)在数集X上有定义，试证：函数(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值和的函数值：(1)y=u,u=sin x,x,4晋-号;TTT.(2) y=sin u,u=2x,x, =8.32-54(3)y=yu,u=1+x,x,=1,x,=2;(4) y=e",u=x,x,=0,x=l;(5) y=u,u=e',x,=l,x,=-112.设x)的定义域D=[0,1]，求下列各函数的定义域：(1) ():(2)(sinx);(4) f(x+a)+(x-a)（α>0).(3)(x+a)(a>0);13.设1Ixl<l,0.(x)= /Ixl=1, g(x)=e,[-1,1x1>1,求几g（x）］和gL（x）），并作出这两个函数的图形14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角=40°（图1-20）.当过水断面ABCD的面积为定值S。时，求湿周L（L=AB+BC+CD）与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域15.设x0平面上有正方形D=1（xy）ID0≤x≤10≤y≤1及直线l:x+y=（0）若S（）表示正方形D位于直线I左下方部分的面积，试求S()与之间的函数关系，图1-2016.求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求:17
第一章函数与极限（1）90F的等价摄氏温度和-5℃的等价华氏温度：（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？17.已知Rt△ABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按C→B-A方向移动；动点Q从C出发.沿三角形边界按C→A→B方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍.设动点P移动的距离为，△CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系18.利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据①以及指数模型来推测2020年的世界人口年份人口数/百万年增长率/%20086708.21. 16620096786.41.1401. 12120106863.81.10720116940.720127017.51.10720137095.2第二节数列的极限一、数列极限的定义极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的.例如，我国古代一割圆数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法术，就是极限思想在几何学上的应用，设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A；再作内接正十二边形，其面积记为A，：再作内接正二十四边形，其面积记为A，：如此下去，每次边数加倍，一般地，把内接正6x2"-边形的面积记为A，（neN，）.这样，就得到一系列内接正多边形的面积A,A2,A3,..,A.,*它们构成一列有次序的数，当几越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以①这里世界人口数据是指每年年中的人口数.18
第二节数列的极限A作为圆面积的近似值也越精确.但是无论n取得如何大，只要n取定了，A，终究只是多边形的面积.而还不是圆的面积.因此，设想几无限增大（记为几一→8，读作几趋于无穷天），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A。也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A,,A2,A.，,A.，当n一→时的极限.在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明，先说明数列的概念，如果按照某一法则，对每个neN.，对应着一个确定的实数x，这些实数x按照下标n从小到大排列得到的一个序列X,x2,x,x..就叫做数列，简记为数列x1.数列中的每一个数叫做数列的项，第n项，叫做数列的一般项（或通项）例如：123n2'3'4.""n+";2,4,8,...,2",...111124·1,-1,1,,(-1)**,;n+(-1)*-I142亢3n都是数列的例子，它们的一般项依次为n+(-1) *-i1n2(1) *+1n在几何上，数列x,1可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点，2，3,..**,x.,...(图1-21).草鹅数列x可看作自变量为正整数n的函数图1-21x,=f(n),neN.当自变量n依次取1，2，3，一切正整数时，对应的函数值就排列成数列1x.1.对于我们要讨论的间题来说，重要的是：当n无限增大时（即n一→时），对应的x。=f（n）是否能无限接近于某个确定的数值？如果能够的话，这个数值等于多少？:19:
第一章函数与极限我们对数列n+(-1) *-1412(21)2'3n进行分析.在这数列中，x, =n+(-1)*-I=1+(-1)"nn我们知道，两个数a与b之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值lb-al来度量（在数轴上b-al表示点a与点b之间的距离），lb-al越小，a与b就越接近就数列（2-1）来说，因为-1) *-1Ix,-11:由此可见，当几越来越大时，一一越来越小，从而x，就越来越接近于1.因为只要n二可以小于任意给定的正数，所以说，当几无限增大时，，无限足够大，1x-11即-n100欲使一。！1<100，只要n>100，即从第101项起，都能使不等接近于1.例如，给定n式11x,-11<1001成立。同样地，如果给定10 00那么从第10 001项起，都能使不等式11x,-11<10 000成立，一般地，不论给定的正数多么小，总存在着一个正整数N，使得当n>N时，不等式1x,-11<8都成立.这就是数列x。=n+(-1)（n=1.2，）当n-时无限接近于1这件n事的实质.这样的一个数1,叫做数列x,=+（-1)（n=1,2,…）当n→时的n极限.般地，有如下数列极限的定义：定义设x为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数e（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式.20