第二节数列的极限lx.-al<e都成立，那么就称常数a是数列|x的极限，或者称数列x收敛于a，记为limx,=a,或x.→a(n-→o).如果不存在这样的常数a，就说数列1x1没有极限，或者说数列x1是发散的，习惯上也说limx，不存在上面定义中正数e可以任意给定是很重要的，因为只有这样，不等式1x，-al<e才能表达出x,与a无限接近的意思.此外还应注意到：定义中的正整数N是与任意给定的正数6有关的，它随着8的给定而选定，我们给“数列x。的极限为a”二个几何解释：将常数a及数列,，*，*，，。，在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的e邻域即开区间（a-6，a+e）（图1-22）.2Ea+ea-e0000X￥2XXN+1XN+3aX3XN+2图1-22因不等式Ix.-al<e与不等式a-e<x,<a+e等价，所以当n>N时，所有的点x，都落在开区间（a-，a+ε）内，而只有有限个（至多只有N个）在这区间以外为了表达方便，引入记号“V”表示“对于任意给定的”或“对于每一个”，记号“3表示“存在”于是，“对于任意给定的ε>0”写成“Vs>0”，“存在正整数N"写成“日正整数N"，数列极限limx，=a的定义可表达为limx=aV>0，正整数N，当n>N时，有Ix，al<s数列极限的定义并未直接提供如何去求数列的极限，以后要讲极限的求法，而现在只先举几个说明极限概念的例子例1证明数列3..n+(-1)-I2,1.4.32'34，n的极限是1.: 21
第一章函数与极限n+(-1)"证1x.-al=nVe>0，为了使lx-al<e，只要1-或<ensne这个是一个确定的实数，而对于任何一个实数都有无穷多个大于它的正整数存在，所以，任取一个大于一一的正整数作为N，则当n>N时，就有Ln+(-1)n即lim n+(-1) *-=1n1+9(-1)"例2证明数列|x1的极限是0.已知x(n+1)21(-1)*.10证Ix,-al:（n+1)2<n(n+1)2Ve>0为了使lx。-al<e，只要1或<ennVe这个！一的正整数有无穷多个存在，任取其中一个作为一是一个确定的实数，大于一VeVeN,则当n>N时.就有(-1)"2e(n+1)2即(-1)*lim-=0.-*(n+1)2注意在利用数列极限的定义来论证某个数α是数列。的极限时，重要的是对于任意给定的正数6，要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在。如果知道1x，-a1小于某个量（这个量与n存在函数关系），那么当这个量小于g时，lx,-al<e当然也成立.若令这个量小于e能推出符合定义要求的正整数N必定存在，就可采用这种方法，例2便是这样做的当然，在利用极限定义证明极限时，如果能具体找出一个满足定义要求的正整数N，那么也就证明了这种N的·22
第二节数列的极限在以后的证明中，多采取这种找出存在.在例2中，若设ε<1.就可取N：一个符合定义要求的正整数N的方法，例3设1gl<1，证明等比数列1,9.9,,9的极限是0证Ve>0（设<1）,因为Ix,-01=1q-1-01=1g1*-要使1x，-01<8，只要Iq1"l<e.取自然对数，得（n=1)lng<ln6.因1gl<1,ln1gl<0,故In gn>1+InIglIne取N=+in1g]，则当n>N时，就有1Ig"-1-01<8,即-1=0limg二、收敛数列的性质下面四个定理都是有关收敛数列的性质定理1（极限的唯一性）如果数列1x，1收敛，那么它的极限唯一b-a.因为limx=证用反证法.假设同时有x。→及x-b且a<b.取e2a，故3正整数N.当n>N.时，不等式b-a(2-2)Ix,-al<2都成立.同理，因为limx=b，故日正整数Na，当n>N，时，不等式1x,-bl<b-a(2-3)2都成立.取N=maxN,，N，！（这式子表示N是N,和N,中较大的那个数），则当na+b，由（2-3）式有>N时，（2-2）式及（2-3）式会同时成立，但由（2-2）式有x2a+b这是不可能的，这矛盾证明了本定理的断言x.y223
第一章函数与极限例4证明数列x=（-1）"+（n=1,2，）是发散的证如果这数列收敛，根据定理1它有唯一的极限，设极限为a，即limx=a.按1，3正整数N,当n>N时，Ix,-al<成立；即当n>N数列极限的定义，对于6：2'11时，x，都在开区间a内，但这是不可能的，因为n一→8时，无休止地一-2.a+2)再重复取得1和-1这两个数，而这两个数不可能同时属于长度为1的开区间+号)内因此这数列发散a-2,0+12由函数有界性的概念可得以下的数列有界性概念，对于数列1x。，如果存在正数M，使得对于一切x都满足不等式Ix.I≤M.那么称数列1x，是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列|x,1是无界的"（n=1,2，…）是有界的，因为可取M=1,而使例如，数列x=n+l≤1n+1对于一切正整数n都成立，数列x=2”（n=1，2，）是无界的，因为当n无限增加时，2"可超过任何正数.数轴上对应于有界数列的点x都落在某个闭区间[-M,M]上定理2（收敛数列的有界性）如果数列x。收敛，那么数列x,1一定有界证因为数列|x。l收敛，设limx。=a.根据数列极限的定义，对于s=1，正整数N，当n>N时，不等式Ix,αl<1都成立.于是，当n>N时，Ix1=l(x,-a)+al≤lx.=al+lal<1+lal.取M=max/1x,！，1x1，"，1x~！,1+la11，那么数列1x，中的一切x都满足不等式Ix,≤M.这就证明了数列是有界的根据上述定理，如果数列1x1无界，那么数列1x，1一定发散.但是，如果数列1x1有界，却不能断定数列x1一定收敛，例如数列1,-1,1,.,(-1),.有界，但例4证明了这数列是发散的.所以数列有界是数列收敛的必要条件，但.24
第二节数列的极限不是充分条件定理3（收敛数列的保号性）如果limx.=a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有x>0（或x<0）.证就a>0的情形证明.由数列极限的定义，对ε=号>0,3正整数N,当n>N2时,有Ix,-al<a2从而4=->0x.>a--2-2推论如果数列1x1从某项起有x≥0（或x≤0），且limx，=a，那么a≥0(或a≤0).证设数列1x。I从第N,项起，即当n>N时有。≥0.现在用反证法证明.若limx=a<0，则由定理3知，3正整数Nz，当n>N时，有x<0.取N=max|N，，N，，当n>N时，按假定有x≥0，按定理3有x<0,这引起矛盾.所以必有a≥0.数列1x从某项起有x≤0的情形，可以类似地证明最后，介绍子数列的概念以及关于收敛数列与其子数列间关系的一个定理。在数列1x1中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列1*。1中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列x。1的子数列（或子列）设在数列1x中，第一次抽取.，第二次在后抽取，第三次在x后抽取.，这样无休止地抽取下去，得到一个数列Xa,x,xnt"这个数列11就是数列1x。的一个子数列注意在子数列1x中，一般项x是第k项，而x在原数列1。1中却是第n项.显然，n≥k定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列x，收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.证设数列x是数列x。的任一子数列由于limx,=a，故Ve>0，日正整数N，当n>N时，Ix-al<e成立.取K=N，则当k>K时，n,>n=n~≥N.于是Ix.-al<e.这就证明了limx.,=a.证毕，:25: