第一章，函数与极限f(x）=2/x；当xe（1，+o）时，对应的函数值f(x）=1+x.例如，e[0,1].所以.2=/2;1e[0,1]，所以f(1)=2/1=2;3e（1,+），所以=22（3）=1+3=4.这函数的图形如图1-6所示43yAy=[x] 21yml +Y84x32-123-1-2-324xo图1-6图1-5用几个式子来表示一个（不是几个！）函数，不仅与函数定义并无矛盾，而且有现实意义，在自然科学和工程技术中，经常会遇到分段函数的情形.例如在等温过程中，气体压强p与体积V的函数关系，当V不太小时依从玻意耳（Boyle）定律：当V相当小时，函数关系就要用范德瓦耳斯（vanderWaals）方程来表示，即o%β<V<V。V-BV,DkV≥Vo,'其中k，α，β，都是常量2.函数的几种特性设函数f(x）的定义域为D，数集XCD.如果存在数（1）函数的有界性K,，使得f(x)≤K,对任一xeX都成立，那么称函数(x）在X上有上界，而K，称为函数f(x）在X上的一个上界，如果存在数K，，使得f(x)≥K,对任一xEX都成立，那么称函数f(x）在X上有下界，而K，称为函数（x）在X.6
第一节映射与函数上的一个下界.如果存在正数M，使得IF(x)I≤M对任一xeX都成立，那么称函数（x）在X上有界.如果这样的M不存在，就称函数（x）在X上无界：这就是说，如果对于任何正数M，总存在x，EX，使f（x）I>M那么函数f（x）在X上无界例如，就函数f(x）=sinx在（-80，+α）内来说，数1是它的一个上界，数-1是它的一个下界（当然，大于1的任何数也是它的上界，小于-1的任何数也是它的下界）.又Isinxl≤l对任一实数x都成立，故函数f（x）=sinx在（-80，+8o）内是有界的这里M=1（当然也可取大于1的任何数作为M而使I（x）I≤M对任一实数x都成立）又如函数(x）=一在开区间（0,1)内没有上界，但有下界，例如1就是它的一个下界.函数(x)=一在开区间(0,1)内是无界的，因为不存在这样的正数≤M对于(0,1)内的一切×都成立.但是(×）=一在区间（1,2)内是M，使有界的，例如可取M=1而使≤1对于一切xe（1,2）都成立.容易证明，函数×）在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界（2）函数的单调性设函数f(x）的定义域为D,区间ICD.如果对于区间1上任意两点x及x，当x<x时，恒有f(x)<f(x)那么称函数f（x）在区间1上是单调增加的（图1-7）；如果对于区间1上任意两点x及x2，当<x时恒有f(x,)>f(x2),那么称函数（x）在区间1上是单调减少的（图1-8）.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数例如，函数f（x）=x在区间[0，+）上是单调增加的，在区间（-,0]上是单调减少的：在区间（-，+）内函数f（x）=×不是单调的（图1-9）又例如，函数f（×）=x在区间（-0，+）内是单调增加的（图1-10）（3）函数的奇偶性设函数f（x）的定义域D关于原点对称.如果对于任一xED,f(-x)=f(x)1
第一章函数与极限Vyly=f(xy=f(x)1 f(x2)if(x,)[f(x)1f(2)xX;xX1X20X211图1-7图1-8x0x0图1-9图1-10恒成立，那么称f(x）为偶函数.如果对于任一xeD，f(-x)= -f(x)恒成立，那么称x）为奇函数例如，(x）=x是偶函数，因为f(-x）=（-x）=x=(x）。又例如，f(x）=是奇丽数，因为（x）=（-x）"=-x=-（x）偶函数的图形关于轴是对称的.因为若f（x）是偶函数，则（-x）=（x），所以如果A（xf(x））是图形上的点，那么与它关于y轴对称的点A（-xf（x））也在图形上（图1-11）奇函数的图形关于原点是对称的：因为若f（x）是奇函数，则f（-x）=-（x），所以如果A（x，（x））是图形上的点，那么与它关于原点对称的点A"（-x，-f（x））也在图形上（图1-12）函数y=sinx是奇函数.函数y=cosx是偶函数.函数y=sinx+cosx既非奇函数，也非偶函数，.8:
第一节映射与函数=f(x)ox图1-11图1-12（4）函数的周期性设函数（x）的定义域为D.如果存在一个正数1.使得对于任一xED有（x±l）ED,且f(x+l)=f(x)恒成立，那么称f（x）为周期函数，1称为f（x）的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期例如，函数sinx，cosx都是以2为周期的周期函数；函数tan×是以π为周期的周期函数，图1-13表示周期为1的一个周期函数.在每个长度为1的区间上，函数图形有相同的形状3/2图1-13并非每个周期函数都有最小正周期，下面的函数就属于这种情形例10狄利克雷（Dirichlet）函数rl, xeQ,D(x)=lo,xeQ°容易验证这是一个周期函数，任何正有理数「都是它的周期因为不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期3.反函数与复合函数作为逆映射的特例，我们有以下反函数的概念，设函数f:D一f(D)是单射，则它存在逆映射：（D）→D，称此映射广为函9
第一章函数与极限数的反函数按此定义，对每个yf(D），有唯一的xED，使得(x）=y，于是有f'(y)=x这就是说，反函数的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的例如，函数y=x，xER是单射，所以它的反函数存在，其反函数为x=y',yeR.由于习惯上自变量用x表示，因变量用y表示，于是y=x，xeR的反函数通常写作y=x，xeR一般地，y=fx），xeD的反函数记成y=厂（x），xEf（D）若f是定义在D上的单调函数，则f:D一(D)是单射，于是f的反函数必定存在，而且容易证明也是（D）上的单调函数，事实上，不设在D上单调增加，现在来证明在D）上也是单调增加的任取y,y2ef(D），且y<y2.按函数了的定义，对y，在D内存在唯一的原像，使得（x）=y，于是于（）=；对y2在D内存在唯一的原像2使得f（）=y2,于是f(y2)=x2.如果>则由f(）单调增加，必有>2如果x=，则显然有y=y2这两种情形都与假设y不符，故必有x<，即（）f（y）这就证明了在f（D）上是单调增加的相对于反函数y=广（x）来说，原来的函数y=f（x）称为直接函数.把直接函数y=f（x）和它的反函数y=广（x）的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线y=x是对称的（图1-14）.这是因为如果P（a，b）是y=f（x）图形上的点，则有b=/(a）.按反函数的定义，有a=f（b），故Q（b，a）是y=厂（x）图形上的点；反之，若Q(b，a）是y=（x）图形上的点，则P(a,b)是y=f(x)图形上的点.而P(ab)与Q(b,a）是关于直线y=x对称的复合函数是复合映射的一种特例，按照通常yf(x)VA函数的记号，复合函数的概念可如下表述：设函数y=f（u）的定义域为D，函数u=g（x）y=/(x)Q(b,a)的定义域为D，且其值域R。CD,，则由下式确定的函数P(a,b)y=g(x)l,xeDX称为由函数u=g（x）与函数y=f（u）构成的复合图1-14函数，它的定义域为D，，变量u称为中间变量函数g与函数构成的复合函数，即按“先名后的次序复合的函数，通常:10: