第一章函数与极限初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量.所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法.本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念以及它们的一些性质。第一节映射与函数映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一种.本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等一、映射1.映射概念定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从X到Y的映射记作f:X-→+Y,其中y称为元素x（在映射下）的像，并记作（x），即y=f(x),而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像：集合X称为映射的定义域，记作D,，即D,=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记作R,或(X),即R,=f(X)= tf(x)IxeXI.从上述映射的定义中，需要注意的是：（1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域D，=X；集合Y,即值域的范围：R,CY；对应法则f、使对每个xEX，有唯一确定的y=x）与之对应（2）对每个xeX，元素x的像y是唯一的；而对每个yeR，元素y的原像不一定是唯一的：映射f的值域R是Y的一个子集，即R,CY，不一定R，=Y.1:
第一章函数与极限例1设f:R一→R，对每个xeR，f(x）=×.显然f是一个映射f的定义域D=R，值域R=1yly≥01，它是R的一个真子集.对于R中的元素y，除y=0外，它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个，例2设X=/（x）lx+y=1,Y=/（x0)1lxl≤1f:X-Y,对每个（x,）EX,有唯一确定的（x，O）EY与之对应.显然f是→个映射的定义域D=X，值域R，=Y.在几何上，这个映射表示将平面上个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上例3设:[-号,号]→[-1,1],对每个xe[-号号] (x)=sin α于是一个映射，其定义域D,=[-号]，值域R,=[-1,1]。设是从集合X到集合Y的映射，若R，=Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称为X到Y上的映射或满射；若对X中任意两个不同元素x，￥x2，它们的像f（x）￥（），则称f为X到Y的单射；若映射f既是单射，又是满射，则称了为一一映射（或双射），上面例1中的映射，既非单射，又非满射；例2中的映射不是单射，是满射；例3中的映射，既是单射，又是满射，因此是一一映射。映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称.例如，从非空集X到数集Y的映射又称为X上的泛函，从非空集X到它自身的映射又称为X上的变换，从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数2.逆映射与复合映射设f是X到Y的单射，则由定义，对每个yER有唯一的xEX，适合f(x）=y.于是，我们可定义一个从R到X的新映射g，即g:RX,对每个yeR,，规定g（y）=x，这x满足(）=y.这个映射g称为f的逆映射，记作f，其定义域D,-1=R,值域R,1=X.按上述定义，只有单射才存在逆映射.所以，在例1、例2、例3中，只有例3中的映射才存在逆映射，这个就是反正弦函数的主值f(x)=arcsin x,xe[-1,1],其定义域Dj=[-1,1],值域Rj-=[-号·]设有两个映射: 2:
第一节映射与函数g:X-→Y，f:Y2-→Z,其中YCY，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xEX映成几g（x）IEZ.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和构成的复合映射，记作fg，即fog:X-→Z,(fog)(x)=flg(x),xeX.由复合映射的定义可知，映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域R，必须包含在f的定义域内，即R，CD，否则，不能构成复合映射.由此可以知道，映射g和的复合是有顺序的，f。g有意义并不表示gf也有意义，即使fog与g都有意义，复合映射fg与gf也未必相同.例4设有映射g：R→[-1,1]，对每个xeR，g（)=sinx，映射f:[-1,1]→[0,1],对每个ue［-1,1],f(u）=1-u,则映射g和f构成的复合映射fg：R→[o,1]，对每个xeR，有(fog)(x)=flg(x))=f(sin x)=/1-sin'x=lcos xl.二、函数1.函数的概念定义设数集DCR，则称映射f:D-→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f(x),xeD,其中x称为自变量，称为因变量，D称为定义域，记作D，即D,=D函数的定义中，对每个xED，按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f（x），即y=f（x）.因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系，函数值f（x）的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作R或D），即R,=f(D)=lyly=f(x),xD/.需要指出，按照上述定义，记号和（x）的含义是有区别的：前者表示自变量x和因变量之间的对应法则，而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常用记号"f（x），xeD"或“y=f（αx），xD"来表示定义在D上的函数，这时应理解为由它所确定的函数表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的了外，还可用其他的英文字母或希腊字母，如“g”“F”“”等.相应地，函数可记作y=g（x），y=F（x），y=Φ（x）等.有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作y=3
第一章函数与极限（x）.但在同一个问题中，讨论到几个不同的函数时，为了表示区别，需用不同的记号来表示它们函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是：定义域D及对应法则.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的，函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定，例如，在自由落体运动中，设物体下落的时间为t，下落的距离为s开始下落的时刻t=0，落地的时刻t=T，则s与t之间的函数关系是s=2gt', te[0,T].这个函数的定义域就是区间[0，T]；另一种是抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域.在这种约定之下，一般的用算式表达的函数可用“y=f（x）"表达，而不必再表出D例如，函数y=1-x的定义域是闭区间[-1,1],函数的定义域是开区间（-1，1）.V1-x表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法），这在中学里大家已经熟悉.其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集(P(x,y)ly=f(x),xeD)称为函数y=f(x），xeD的图形（图1-1).图中的R表示函数y=f(x）的值域下面举几个函数的例子例5函数y=2的定义域D=（-，+），值域W=121，它的图形是一条平行于x轴的直线，如图1-2所示，yAyy-f(x)RSJ=2Tx.y6可XXoD图1-2图1-1-4
第一节映射与函数例6函数x<0,y=lxl:x≥0的定义域D=（-80，+8），值域R,=[0+8），它的图形如图1-3所示.这函数称为绝对值函数例7函数x<0,x=0,0y=sgnx[I.x>0称为符号函数，它的定义域D=（-0，+），值域R，=1-1,0,1！，它的图形如图1-4所示.对于任何实数x，下列关系成立：x=sgn x Ixl.y=sgnxX0Xo图1-4图1-3例8设×为任一终数，不超过×的最大整数称为×的整数部分，记作[×].例如，号]=0,[V2]=1,[]=3,[-1]=-1,[-3.5]=-4.把x看作变量,则函数y=[x]的定义域D=（-80，+，值域R,=Z.它的图形如图1-5所示，这图形称为阶梯曲线.在×为整数值处，图形发生跳跃，跃度为1.这函数称为取整函数在例6和例7中看到，有时一个函数要用几个式子表示.这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数例9函数y=/(x)=[2/, 0≤x≤1,[1+x,x>]是一个分段函数，它的定义域D=0，+），当xE[0,1]时，对应的函数值.5