第四节可降阶的二阶微分方程j(n)= f(x)型的微分方程二、y"=f(x,y')型微分方程 三、y"=f(y,j')型的微分方程
第四节 可降阶的 二阶微分方程 一、 y f x ( ) n = ( ) 型的微分方程 三、 y f y y = ( , ) 型的微分方程 二、 y f x y = ( , ) 型微分方程
一、y(n) = f(x) 型的微分方程店y(n) = f(x)微分方程的右端仅含自变量x，通过n次积分得：y(n-1) = [ f(x)dx+ciJ(a-2) =JJf(x)dx+c]dx+C2
一、 型的微分方程 ( ) ( ) n y f x = 微分方程 ( ) ( ) y f x n = ( 1) 1 ( ) n y f x dx c − = + 的右端仅含自变量 x , 通过n次积分得： ( 2) 1 2 [ ( ) ] n y f x dx c dx c − = + +
二、J"=f(x,y')型的微分方程y"= f(x,y')二阶微分方程令=p(x),则 J"==pdx原方程就可化为一阶方程：p'=f(x,z)该一阶方程的通解为：p=d(x,c)y'=(x,c)于是有即原方程的通解积分得：=[p(x,c,)dx+c2
二阶微分方程 y = f (x, y) 令 y p x = ( ) ，则 dp y p dx = = 原方程就可化为一阶方程： p f x z = ( , ) 该一阶方程的通解为： 1 p x c = ( , ) 于是有 ( , ) 1 y = x c 积分得： 1 2 y = (x,c )dx + c 即原方程的通解. 二、 y f x y = ( , ) 型的微分方程
J(") = f(x, y(k),., J(n-1) 型特点：不显含未知函数y及y,,J(k-1)解法：令 (k)=P(x),则 j(k+1) = P', y(n) = P(n-k)P(x) 的(n-k)阶方程代入原方程，得p(n-k) = f(x, P(x),.., p(n-k-1)(x).求得 P(x),将 j(k)=P(x)连续积分k次,可得通解
代入原方程, 得 解法： 特点： , , . ( −1) k 不显含未知函数 y及 y y ( ) ( ), k 令 y P x = , . (k 1) (n) (n k ) y P y P + − 则 = = ( , ( ), , ( )). ( ) ( 1) P f x P x P x n−k n−k− = P(x)的(n-k)阶方程 求得 P(x), ( ) , 将 y (k ) = P x 连续积分k次 可得通解. ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n y f x y y 型
例 1求方程xy(5)－(4)=0的通解解 设 y(4) = P(x),y(5) = P'(x)xP'-P=0, (P0)代入原方程解线性方程，得 P=Cix 即y(4)=Cix,vWC,x?+C2, ......两端积分，得-2SSC3x?.+C4x+Cs ?xYV26120原方程通解为y=dx+d,x+dx2+dx+d
0 . 求方程 xy(5) − y (4) = 的通解 解 ( ), (4) 设 y = P x 代入原方程 xP − P = 0, 解线性方程, 得 P = C1 x 两端积分,得 原方程通解为 ( ) (5) y = P x （P 0） , 1 (4) 即 y = C x , 2 1 2 2 y = C1 x + C , , 120 6 2 4 5 1 5 2 3 3 2 x C x C C x C x C y = + + + + 4 5 2 3 3 2 5 1 y = d x + d x + d x + d x + d 例 1