例2. 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明至少存在一点 ε(0,1),使2 f()f()=-S证：问题转化为证 f()+2f()=0设辅助函数p(x) = x2 f(x)显然(x)在[0，1］上满足罗尔定理条件,故至少存在一点ε(0,1),使p'()= 2 f()+≤ f() = 0F(s)=- 2f(5)即有S000x机动目录上页下页返回结束
例2. 设 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 上连续, 在 证: 问题转化为证 f () + 2 f () = 0. 设辅助函数 ( ) ( ) 2 x = x f x 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 使 ( ) 2 ( ) ( ) 0 2 = f + f = 即有 少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.设f(x)在[a,bl上连续,在(a,b)内可导,且a+b0<a<b,试证存在,nE(a,b),使f()f'(n)32nf'() - f'(n)f'()(b-a) - f'(n)即要证证：欲证b?_α?2na+b2n因f（x）在【α，b］上满足拉氏中值定理条件,故有①f(b)- f(a)= f'()(b-a), e(a,b)又因f(x)及x2在[a,bl上满足柯西定理条件,故有f(b)- f(a) - f'(n)ne(a,b)b? -α?2 na+bf'(n), ,ne(a,b)将①代入②，化简得'（)2n1000x机动目录上页下页返回结束
例3. 且 试证存在 证: 欲证 , 2 ( ) ( ) f a b f = + 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 故有 f (b) − f (a) = f ()(b − a), (a, b) ( ) [ , ] , 又因f x 及x 2 在 a b 上满足柯西定理条件 将①代入② , 化简得 故有 ① ② ( ), 2 ( ) f a b f + = ,(a,b) 即要证 . 2 ( )( ) ( ) 2 2 f b a f b a = − − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.设实数ao，αi，…,an满足下述等式and0ao2n+1证明方程ao+ajx+...+anxn=0 在(0,1)内至少有一个实根，证:令 F'(x)=αo +ax+...+anx",则可设ana1y.n+1F(x)=aox+2n+1显然,F(x)在[0,1]上连续,在(O,1)内可导,且 F(O)=F(1)=0,由罗尔定理知存在一点 ε(O,1),使 F'()=0,即ao +aix+.+anxn=0在O,D内至少有一个实根 .000x机动自录上页下页返回结束
例4. 设实数 满足下述等式 0 2 1 1 0 = + + + + n a a a n 证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令 ( ) , 0 1 n n F x = a + a x ++ a x 则可设 1 2 1 0 2 1 ( ) + + = + + + n n x n a x a F x a x 且 F(0) = 由罗尔定理知存在一点 (0,1), 使 即 0 0 1 . 0 + 1 + + = 在（ ，）内至少有一个实根 n n a a x a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 F(1) = 0
例5.设函数f(x)在[0,31上连续,在(0,3)内可导,且f(O)+ f(1)+ f(2)=3, f(3)=1, 试证必存在 三E(0,3),使f'()=0. (03考研)证：因f(x)在[0,3]上连续，所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m，故m≤ f(0), f(1), f(2)≤ M→m≤f(0)+f()+f(2)2<M3由介值定理,至少存在一点 c E[0,2],使f(c) = f(0)+f()+f(2)2=13: f(c)= f(3)=1,且 f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导由罗尔定理知, 必存在E(c,3)C(O,3),使f'()=0O000?机动目录上页下页返回结束
例5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) =1, (0,3), 使 f () = 0. 分析: 所给条件可写为 1, (3) 1 3 (0) (1) (2) = = + + f f f f (03考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使 3 (0) (1) (2) ( ) f f f f c + + = 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故 m f (0), f (1), f (2) M m M f f f + + 3 (0) (1) (2) 由介值定理, 至少存在一点 c[0,2], 使 3 (0) (1) (2) ( ) f f f f c + + = =1 f (c) = f (3) =1,且 f (x)在[c,3]上连续, 在(c, 3)内可导, 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3) (0, 3), 使 f () = 0