§7.3估计量的评选标准 即E(4)=1∑E(K)=4: i=1 故k阶样本矩A是k阶总体矩4的无偏估计. 特别地： 不论总体X服从什么分布， 只要它的数学期望存在， X总是总体X的数学期望μ1=E(X)的无偏 估计量. 7137
故 阶样本矩 是 阶总体矩 的无偏估计. k k k A k 特别地: . ( ) 1 估计量 X 总是总体 X 的数学期望 E X 的无偏 不论总体 X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在, §7.3 估计量的评选标准 n i k k E Xi n E A 1 ( ) 1 即 ( ) . k 7/37
§7.3估计量的评选标准 2.样本方差是总体方差的无偏估计，二阶中心距不是无偏估计 对于均值山，方差σ2>0都存在的总体，若 山，。2均为未知，则。2的估计量62-1之(X,-X) 是有偏的（即不是无偏估计）， 62=1x-X2=4-X2, 证 n i=1 因为E(A2)=42=σ2+2， 又因为E(X)=D(X)+IEXP=g+, 所以E(6)=E(A2-X2)=E(A2)-E(X2) 8/37
( ). ( ) 1 , , ˆ , 0 , 1 2 2 2 2 2 是有偏的 即不是无偏估计 均为未知 则 的估计量 对于均值 方差 都存在的总体 若 n i Xi X n 证 n i Xi X n 1 2 1 2 2 ˆ , 2 A2 X 2 2 因为 E(A ) , 2 2 2 2 又因为 E(X ) D(X) [E(X)] , 2 2 n ( ˆ ) ( ) 2 2 2 所以 E E A X ( ) ( ) 2 E A2 E X §7.3 估计量的评选标准 8/37 2. 样本方差是总体方差的无偏估计，二阶中心距不是无偏估计
§7.3估计量的评选标准 =I-1 .2≠0，所以6是有偏的. n 若以”主 乘62，所得到的估计量就是无偏的. n-1 这种方法称为无偏化)， (01n5)= 因为W”1=S好=2(x- 即S2是o2的无偏估计，故通常取S2作σ2的估计量 9/37
, 1 2 2 n n ˆ . 所以2 是有偏的 ˆ , . 1 若以 乘2 所得到的估计量就是无偏的 n n (这种方法称为无偏化). ( ˆ ) . 1 ˆ 1 2 2 2 E nn nn E 2 2 ˆ 1 Sn n n 因为 ( ), 1 1 1 2 ni Xi X n , 即 S2是2 的无偏估计 . 故通常取S2作2的估计量 §7.3 估计量的评选标准 9/37
§7.3估计量的评选标准 例1设总体X在0，上服从均匀分布，参数0>0， X1,X2,Xn是来自总体X的样本，试证明2灭和 n+1 -max(X1,X2,.,Xn)都是0的无偏估计. n 证 因为E(2X=2E(X=2E(W)=2×9=8, 所以2又是0的无偏估计量. 因为Xm=max(X1,X2,.,Xn)的概率密度为 nx"-1 0≤x≤0 f(x)= gn, 0, 其它 10/37
max( , , , ) . 1 , , , 2 [0, ] , 0, 1 2 1 2 都是 的无偏估计 是来自总体 的样本，试证明 和 设总体 在 上服从均匀分布 参数 n n X X X n n X X X X X X 证 因为 E(2X) 2E(X) 2E(X) , 2 2 所以 2X 是 的无偏估计量. 因为 X(n) max(X1, X2 ,, Xn )的概率密度为 0, 其它 , 0 ( ) 1 x nx f x n n 例1 §7.3 估计量的评选标准 10/37
§7.3估计量的评选标准 所以(X。=g n+1 改有件x小=a 故”+max(X,X,X,)也是6的无偏估计量. 11/37
dx nx E X n n n 0 ( ) 所以 ( ) , 1 nn , ( ) X n nn E 1 故有 max( , , , ) . 1 故 X1 X2 Xn 也是 的无偏估计量 n n §7.3 估计量的评选标准 11/37