53.3解对初值的连续性和可微性定理
§3.3 解对初值的连续性和可微性定理
G考{”,(6ER0 的解y=0(x,xy)对初值的一些基本性质 内容: 解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性
2 0 0 ( , ) , ( , ) (1) ( ) dy f x y dx x y G R y x y = = 考察 的解 y x x y =( , , ) 0 0 对初值的一些基本性质 ❖解对初值的连续性 ❖解对初值和参数的连续性 ❖解对初值的可微性 内容:
y=(x,x,0) 图例分析见右) (x0,元) (x,y)∈GcR (x1,y) 初值问题的解不单依赖于自变量x, 同时也依赖于初值(x,yn) yo) 初值变动相应的初值问题的解也将随之变动 提 °解对初值M 解存在 Q:当初值发生变化时对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时方程的解变化是否也是很小呢?
y x G 0 0 ( , ) x y 0 0 y x x y =( , , ) 0 0 ( , ) x y 0 0 y x x y =( , , ) 图例分析(见右) 2 0 0 ( , ) , ( , ) ( ) dy f x y dx x y G R y x y = = 解可看成是关于 0 0 x x y , , 的三元函数 0 0 y x x y =( , , ) 满足 0 0 0 0 y x x y =( , , ) 1 1 ( , ) x y 解对初值的对称性: 0 0 y x x y =( , , ) 0 0 y x x y =( , , ) 前提 解存在唯一 例: 0 0 0 0 ( ) x x dy y dx y y e y x y = − = = 初值问题的解不单依赖于自变量 , 同时也依赖于初值 . 初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动. ………… 0 0 ( , ) x y x Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？
证明重(3满足y(xn)=y的解存在区间内任取一值x 1=0(x1,x23y),则由解的唯一性知 (3,1)过点(x,y)与过点(x02y3)的解是同一条积分曲线 即此解也可写成:y=9(x,x1,y) 且显然有:y=0(x,x1,y) 由于点(x,y)是积分曲线上任一点 因此关系式=0(x2x,y)对该积分曲线上任意 点(x,y)均成立
证明 (3.1) ( ) , 0 0 1 由 满足y x = y 的解存在区间内任取一值x ( , , ), 1 1 0 0 y = x x y 则由解的唯一性知, (3.1) ( , ) ( , ) , 过点 x1 y1 与过点 x0 y0 的解是同一条积分曲线 即此解也可写成: ( , , ), 1 1 y = x x y 且显然有: ( , , ), 0 0 1 1 y = x x y ( , ) , 由于点 x1 y1 是积分曲线上任一点 x y 。 y x x y 点 均成立 因此关系式 对该积分曲线上任意 ( , ) ( , , ) 0 = 0
按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题: Q1:解在某有限闭区间[c6上有定义讨论初值(x的) 微小变化对解的影响情况称为解对初值的连续性内容 包括:当初值发生小的变化时所得到的解是否仍在U,b 上有定义以及解在整个区间[ab上是否也变化很小? Q2:解在某个无限闭区间a,有定义讨论初值x,y3) 的微小变化是否仍有解在[a,有定义且解在整个 区间[a,+变化也很小这种问题称为解的稳定性 问题将在第六章中讨论
按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题: Q1:解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值 的 微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容 包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b] 上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小? 0 0 ( , ) x y Q2:解在某个无限闭区间 上有定义,讨论初值 的微小变化是否仍有解在 上有定义,且解在整个 区间 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性 问题,将在第六章中讨论. 0 0 [ , ) a + ( , ) x y [ , ) a + [ , ) a +