解对初值的连续性 1.解对初值的连续依赖性 定义设初值问题 女=(xy),(31 的解y=(x,x02y)在区间ab上存在, 如果对VE>0,3δ=8(E,a,b)>0,使得对于满足 )2≤δ 的一切(x2y)
一 解对初值的连续性 定义 设初值问题 , (3.1) ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy ( , , ) [ , ] , 的解y = x x0 y0 在区间 a b 上存在 如果对 0, =(,a,b) 0,使得对于满足 2 2 0 0 2 0 0 (x − x ) +(y − y ) ( , ), 0 0 的一切 x y 1.解对初值的连续依赖性
初值问题 =f(xy),(3) dx Y(xo)=yo 的解y=(x,x02y)都在区间a,b上存在并且 (x,x,y)-以(x,x,y)<6,x∈[a,b] 则称初值问题(31)的解y=(x,x2y)在点(x0,y) 连续依赖于初值(x,y)
的解y =(x, x0 , y0 )都在区间[a,b]上存在,并且 ( , , ) ( , , ) , [ , ] x x0 y0 − x x0 y0 x a b ( , ). (3.1) ( , , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 ' x y y x x y x y 连续依赖于初值 则称初值问题 的解 = 在点 ' 0 0 , (3.1) ( ) ( , ) = = y x y f x y dx dy 初值问题
到理如果函数f于某域G内连续,且关于y满足利普希茨 条件(利普希茨常数为L),则对方程 的任(x,y) 意两个解(及们的公共存在区间内成立着不 等式()-(x)-(x)中所考虑x0 区间内的某一值。 证明设(x),v(x)在区间[a,b上均有定义令 I(x)=(0(x)-v(x)2,x∈[a,b u v(x)=(plr)-()((x)-v(x) 2(0(x)-v(x)(f(x,9(x)-f(x,y(x)
引理 如果函数 于某域G内连续，且关于 y 满足利普希茨 条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任 意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不 等式 .其中 为所考虑 区间内的某一值。 f x y ( , ) ( , ) dy f x y dx = ( ) x ( ) x 0 x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) L x x x x x x e − − − 证明 设(x),(x)在区间[a,b]上均有定义,令 ( ) ( ( ) ( )) , [ , ] 2 V x = x − x x a b ( ) = ' V x 则 = 2((x) − (x)) 2((x) − (x))( ( ) ( )) ' ' x − x ( f (x,(x)) − f (x, (x))
+()=2(9(x)-y()X((x)-((x) ≤2((x)-v(x)L((x)-(x)≤2LV(x) 于是 (V(x)e 2Ix)< 0 因对vxn∈[a,b有 V(x)≤(2L(x=) <x<b 对a≤x≤x类似可证,因此 V(x)≤V(x)e2,x∈[a,b] 两边取平方根即得 o(x)-(x)5(x)-w(x)4,xe[1
( ) 2( ( ) ( ))( ( , ( )) ( , ( )) ' V x = x − x f x x − f x x 2((x) − (x))L((x) − (x)) 2LV (x) 于是 ( ( ) ) 0 2 − Lx V x e dx d 因对x0 [a,b]有 V x V x e x x b L x x − 0 2 ( ) 0 ( ) ( ) , 0 对a x x0 类似可证， 因此 ( ) ( ) , [ , ], 2 0 V x V x0 e x a b L x x − 两边取平方根即得 ( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ], 0 x x x0 x0 e x a b L x x − − −
2定理1(解对初值的连续依赖性定理) 方程 f(x,y),(x,y)∈GR2(1) 条件:L.f在内连续且关于满足局部Lips条件; Ⅱ.y=只减后的解定∈G 区间为[ab 结论:对∨s,>03δ=使得澎b)>0 (x0-x0)2+(o-y)2≤ 时方程(1)点(x,)的解y=0(x,x,)在ab上也有 定义且o(x,x0,)-0( x,Oy-E,a≤x≤b
2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) x x y y − + − 2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理) ( , ) x y G 0 0 0 0 y x x y = ( , , ) y 条件: I. f x y ( , ) 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件; II. 是(1)满足 的解,定义 区间为[a,b]. 结论: 对 , 0 = 使得当 ( , , ) a b 0 0 0 y x x y = ( , , ) 0 0 ( , ) x y ( , , ) ( , , ) , . x x y x x y a x b 0 0 0 0 − 时,方程(1)过点 的解 在[a,b]上也有 定义,且 2 = ( , ), ( ) , (1) dy f x y x y G R dx 方程