532解的延拓
§3.2 解的延拓
问题提出 对于初值问题 dx f(x,y),R:X Y(o)=yo 上节解存在唯一性定理告诉我们在一定条件下, 它的解在区间x-x≤h上存在唯 这里h=mn(a,,M=Mx(x,y (x,y)∈R 根据经验如果f(x,y舶定义域R越大解的存在唯 区间也应越大但根据定理的结论可能出现这种情况, 即随着(x,y)的定义域的增大解的存在唯一区间反而 缩小,这显然是我们不想看到的
问题提出 对于初值问题 , ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy : , , R x − x0 a y − y0 b 上节解存在唯一性定理告诉我们,在一定条件下, , 它的解在区间x − x0 h上存在唯一 min( , ), ( , ) ( , ) M Max f x y M b h a x y R 这里 = = , , ( , ) , 区间也应越大 根据经验 如果f x y 的定义域R越大 解的存在唯一 , . ( , ) , , , 缩小 这显然是我们不想看到的 即随着 的定义域的增大 解的存在唯一区间反而 但根据定理的结论 可能出现这种情况 f x y
ty 例如初值问题1cx y(0)=0 当取定义域为R:-1≤x≤1,-1≤y≤时, 解的存在唯一区间x≤h=mim{1}= 22 当取定义域为R:-2≤x≤2,-2≤y≤2时, 解的存在唯一区间x≤h=min(2,} 84 正因为如此,上节中所介绍的存在唯一性定理也叫做解的局部 存在唯一性定理.这种局部性使我们感到非常不满意.而且实战上也 要求解的存在区间能尽量扩大.这样就需要讨论解延拓的问题.为此 先给出下列定义
, (0) 0 2 2 = = + y x y dx dy 例如 初值问题 当取定义域为R:−1 x 1,−1 y 1时, . 2 1 } 2 1 解的存在唯一区间x h = min{1, = 当取定义域为R:−2 x 2,−2 y 2时, . 4 1 } 8 2 解的存在唯一区间x h = min{ 2, =
饱和解及饱和区间 定义1对定义在平面区域G上的微分方程 f(x,y),(3.1) dx 设y=0(x)为方程(3.1)定义在区间a1,舶连续解, 若存在方程(3.1)的另一解y=v(x),它在区间(a2B2)上 有定义,且满足 (1)(a2,2)→(a1,B)但(a2,B2)≠(a12B1), (2)当x∈(a1,B)时,(x)=(x) 则称解y=叭(x),x∈(ax,B)是可延拓的并且称解 y=v(x)是解y=(x)在(a2,B2)的一个延拓
1 饱和解及饱和区间 定义1 对定义在平面区域G上的微分方程 f (x, y), (3.1) dx dy = ( ) (3.1) ( , ) , 设y = x 为方程 定义在区间1 1 的连续解 有定义 且满足 若存在方程 的另一解 它在区间 上 , (3.1) ( ), ( , ) 2 2 y = x (1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), 2 2 1 1 但 2 2 1 1 (2) ( , ) , ( ) ( ); 1 1 当x 时 x = x ( ) ( ) ( , ) . ( ), ( , ) , 2 2 1 1 是解 在 的一个延拓 则称解 是可延拓的 并且称解 y x y x y x x = = =
若不存在满足上述条件的解y=v(x),则称解y= 0(x),x∈(ax,B)为方程的一个不可延拓解或饱和解 此时把不可延拓解的定义区间a12B)称为一个饱和区间 2局部李普希茨( Lipschitz)条件 定义2若函数f(x,y)在区域G内连续,且对G内的每 点P,有以P为中心完全含于G内的闭矩形R存在, 在R上f(x,y)关于y满足Lch条件(对不同的点 域R大小和常数L可能不同,则称f(x,y)在G内关 于y满足局部 Lipschitz条件
( ), ( , ) , . ( ), 1 1 为方程的一个不可延拓解 或饱和解 若不存在满足上述条件的解 则称解 = = x x y x y ( , ) . 此时把不可延拓解的定义区间1 1 称为一个饱和区间 2 局部李普希茨(Lipschitz)条件 定义2 . ), ( , ) ( , ) ( , , , ( , ) , 于 满足局部 条件 域 大小和常数 可能不同 则称 在 内关 在 上 关于 满足 条件 对不同的点 一点 有以 为中心完全含于 内的闭矩形 存在 若函数 在区域 内连续 且对 内的每 y Lipschitz R L f x y G R f x y y Lipschitz P P G R f x y G G P P P