54.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法
§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法
、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式:F(t,x,x,…,x)=0 1不显含未知函数x, 或更一般不显含未知函数及其直到k-1k1)阶导数的方程是 F(t,x k)y(k+1) xm)=0(4.57) 若令x)=y,则可把方程化为yn-阶方程 F(t,y,y2…,y(-6)=0(4.58) 若能求得(4.58)的通解y=(,,…,Cn2k) 即x (k) n-k 对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解 x=v(t2c1…cn),这里c12…cn为任常数
一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式: ( , , , , ) 0 ' ( ) = n F t x x x 1 不显含未知函数x, 或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是 ( , , , , ) 0 (4.57) ( ) ( 1) ( ) = k k+ n F t x x x 若令x (k ) = y,则可把方程化为y的n − k阶方程 ( , , , , ) 0 (4.58) ' ( ) = n−k F t y y y 若能求得(4.58)的通解 ( , , , ) 1 n k y t c c = − 对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解 即 ( , , , ) 1 ( ) n k k x t c c = − x =(t,c1 , ,cn ), 这里c1 , ,cn 为任常数
F(t,x),x),…,x)=0(457) 解题步骤: 第一步:令x6)=y,则方程化为 F(t,y,y,…,y)=0 第二步:求以上方程的通解 y=p( (k) qp(t,C1,…2Cn=k) 第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解 x=v(t2c1…cn)2这里c12…cn为任常数
解题步骤: 第一步: 令x (k ) = y,则方程化为 ( , , , , ) 0 ' ( ) = n−k F t y y y 第二步: 求以上方程的通解 ( , , , ) 1 n k y t c c = − 即 ( , , , ) 1 ( ) n k k x t c c = − 第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解 x =(t,c1 , ,cn ), 这里c1 , ,cn 为任常数 ( , , , , ) 0 (4.57) ( ) ( 1) ( ) = k k+ n F t x x x
例个求方程 dx ld 小, 4 0的通解 dt t dt 解令 d ah4-1),则方程化为 y 0 这是一阶方程,其通解为y=ct, d-x 即有 ct dt 对上式积分4次,得原方程的通解为 x=ct +c,t +c3t +cat t c5>
解 令 , 4 4 y dt d x = 则方程化为 0 1 − y = dt t dy 这是一阶方程,其通解为 y = ct, 即有 , 4 4 ct dt d x = 对上式积分4次, 得原方程的通解为 , 4 5 2 3 3 2 5 1 x = c t + c t + c t + c t + c 例1 0 . 1 4 4 5 5 求方程 − = 的通解 dt d x dt t d x
2不显含自变量t的方程, 般形式 F(x,x,…,x(m)=0,(459) 此时以y=x作为新的未知函数,而把x作为新的自变量 因为 dx dy dx dy 2 y dt dx dt dx x a x dt dtdt dt y 2
2 不显含自变量t的方程, 一般形式: ( , , , ) 0, (4.59) ' ( ) = n F x x x , , 此时以y = x ' 作为新的未知函数 而把x作为新的自变量 y, dt dx 因为 = = dt dy = 2 2 dt d x dx dy = dt dx , dx dy y 3 2 3 2 d x d d x dt dt dt = dt d = ( ) dx dy y dx dx dy d( y ) = dt dx , 2 2 2 dx d y + y 2 ( ) dx dy = y