第五章线性微分方程组 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助
存在性与唯一性 第五章 线性微分方程组
§5.1存在唯一定理 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助
存在性与唯一性 §5.1 存在唯一性定理
线性微分方程组的有关概念 1线性微分方程组的定义 定义形如 x1=a1(D)x1+a12()x2+…+a1n()xn+f1(t x2=a21(1)x1+a2(1)x2+…+a2n()xn+2(1)(5 ●香●0● xn=an(1)x1+an2(1)x2+…+amn(t)xn+f(t) 的微分方程组,称为一阶线性微分方程组 其中an(t)(,j,=1,2,…,n),f()(i=1,2,…n)在a≤t≤b上连续 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助
存在性与唯一性 一、线性微分方程组的有关概念 1 线性微分方程组的定义 定义 形如 ' 1 11 1 12 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x a t x a t x a t x f t = + + + + ' 2 21 1 22 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x a t x a t x a t x f t = + + + + ' 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n nn n n x a t x a t x a t x f t = + + + + (5.1) 的微分方程组,称为一阶线性微分方程组. ( )( , , 1,2, , ), ( )( 1,2, , ) ij i 其中 在 上连续. a t i j n f t i n a t b = =
两设函数组x(i=1,2,…,m)在a≤t≤b上连续,且 dx, (t) =an()x1+a12(t)x2+…+an(t)xn+f(t) 则称函数组x1(1)x2(1)…,x()为微分方程组(51)在 a≤t≤b上的一个解 (51)含有n个独立的任常数c12C2…,Cn的解 x1(t)=q(t,c12C2,…cn),i=1,2,…,n 称为(51)的通解 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助
存在性与唯一性( )( 1,2, , ) i 设函数组 在 上连续,且 x t i n a t b = 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), i i i in n i dx t a t x a t x a t x f t dt = + + + + i n =1, 2, , 1 2 ( ), ( ), , ( ) (5.1) n x t x t x t a t b 则称函数组 为微分方程组 在 上的一个解. 1 2 (5.1) , , , n 含有 个独立的任常数c 的解 n c c 1 2 , , , 1,2, , i n x t t c c i n i ( )= ( ,c ), = 称为(5.1)的通解
2函数向量和函数矩阵的有关定义 (1)n维函数列向量定义为 x() x()=120)每x()i=12;…,n)在区间I上有定义 x, (t) n×n数矩阵4(t)定义为 a1()a2()…a12() A(t)= 22 2,()每a1()在上有定义 11 注:对向量或矩阵的代数运算的性质对于以函数作为元素的 矩阵同样成立 存在性与唯一性 国上一页国下一页返回帮助
存在性与唯一性 2 函数向量和函数矩阵的有关定义 (1) n维函数列向量定义为 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n x t x t x t x t = ( )( 1,2, , ) i 每一 在区间I上有定义. x t i n = n n A t 函数矩阵 定义为 ( ) 11 12 12 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t = ( ) ij 每一a t 在I上有定义. 注: 对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的 矩阵同样成立