522线性方程与常数变易法
§2.2 线性方程与常数变易法
阶线性微分方程 dy (x)+b(x)y+c(x)=0 在a(x)≠0的区间上可写成 =P(x)y+Q(x)(1) dx 这里假设P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数 若Q(x)=0,则(1)变为 P(x)y(2) x (2)称为阶齐次线性方程 若Q(x)≠0,则(1)称为一阶非齐线性方程
( ) + b(x) y + c(x) = 0 dx dy a x 一阶线性微分方程 在a(x) 0的区间上可写成 P(x) y Q(x) (1) dx dy = + 这里假设P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数 若Q(x) = 0,则(1)变为 P(x) y (2) dx dy = (2)称为一阶齐次线性方程 若Q(x) 0,则(1)称为一阶非齐线性方程
阶线性微分方程的解法---常数变易法 1°解对应的齐次方程 dy d x p(x)y 得对应齐次方程解 cmah,c为任意常数 20常数变易法求解 =P(x)y+Q(x)(1) x (将常数C变为x的待定函数c(x)使它为(1)的解) 少y=c(x) Ve/(x)dr 为①)的解,则
一 一阶线性微分方程的解法-----常数变易法 1 0 解对应的齐次方程 ( ) (2) dy p x y dx = 得对应齐次方程解 2 0 常数变易法求解 (将常数c变为x的待定函数c(x),使它为(1)的解) y ce dx c为任意常数 p x , ( ) = 令 ( ) 为(1)的解,则 ( ) = p x dx y c x e P(x) y Q(x) (1) dx dy = +
dy dc(x)p(x) +c(xp(xe p(x)di ax dc(x) (x ddi 代入(1)得 Q(xe 积分得c(x)=Q(x)e p(x dx dx+ 30故(1)的通解为 (c(x) ∫po p(x)dx 已 lx 注求(1)的通解可直接用公式(3)
p x d x p x d x e c x p x e dx dc x dx dy + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 代入(1)得 p x d x Q x e dx dc x = − ( ) ( ) ( ) 积分得 ~ ( ) c(x) Q(x)e dx c p x d x + = − 3 0 故(1)的通解为( ( ) ) (3) ~ ( ) ( ) y e Q x e dx c p x d x p x d x + = − 注 求(1)的通解可直接用公式(3)
例1求方程 1)a n+1 x+ ny=e(x+ 通解这里为n常数 解:将方程改写为d=-々 ,y+e2(x+1) dx x+1 首先求齐次方程④ y的通解 dx x+1 dy= n d 从 y分离变量得 dx x+1 yx+1 两边积分得hy=nhx++15
例1 求方程 1 ( 1) ( 1) + + − = + x n ny e x dx dy x 通解,这里为n常数 解: 将方程改写为 x n y e x x n dx dy ( 1) 1 + + + = 首先,求齐次方程 y x n dx dy +1 = 的通解 从 y x n dx dy +1 = 分离变量得 dx x n y dy +1 = 1 1 两边积分得 ln y = nln x + +c