523恰当方程与积分因子
§2.3 恰当方程与积分因子
接下来,我们採讨另外一类可用初等解法求解的方 程类型.为此,将一阶正规形微分方程=f(xy)改写成 f(x,y)d-py=0,或更一般地,M(x,y)+Mx,)中=0的 形式.由前面的例子可以看到,把微分方程写成这种形 式的优点在于:既可以把y看成未知函数,x看成自变量 也可以把x看成未知函数,y看成自变量.即变量x与变 壘y在方程中的地位是对称的,因此也常称形式为 』(xx+x,)=0的方程为对称形式的微分方程
恰当方程的定义及条件 设=l(x,y)是一个连续可微的函数则它的全微分为 ou dx +di Ox 如果我们恰好碰见了方程 du(x, y) dx+ Ou(x, y) dy=0 就可以马上写出它的隐式解 u(x,y=c
一、恰当方程的定义及条件 设u = u(x, y)是一个连续可微的函数,则它的全微分为 dy y u dx x u du + = 如果我们恰好碰见了方程 0 ( , ) ( , ) = + dy y u x y dx x u x y 就可以马上写出它的隐式解 u(x, y) = c
1恰当方程的定义 定义1若有函数(x,y),使得 ault y)=M(x, y)dx+N(x, y)dj 则称微分方程 M(, y)dx+N(, y)dy=0, (1) 是恰当方程.此时(1)的通解为n(x,y)=C 如d(xy)=xy+yx=0 d(x'y+xy)=(3xy+y)dx+(x+2xy)dy=0 ddf(xdx+g(y)dy)=f(r) dx+g()dy=0 是恰当方程
定义1 若有函数u(x, y),使得 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy 则称微分方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) 是恰当方程. 此时(1)的通解为u(x, y) = c. 如 xdy + ydx = 0 (3 ) ( 2 ) 0 2 2 3 x y + y dx + x + x y dy = f (x)dx + g( y)dy = 0 是恰当方程. d(xy) = ( + ) = 3 2 d x y x y+ = d( f (x)dx g( y)d y) 1 恰当方程的定义
需考虑的问题M(x,y)x+N(x,y)y=0,(1) (1)方程(1)是香为恰当方程? (2)若(1)是恰当方程,怎样求解? (3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 2方程为恰当方程的充要条件 定理1设函数M(x,y)和N(x,y)在一个矩形区 域R中连续且有连续的一阶偏导数,则方程 M(x, y)dx+N(, y)dy=o, 1) 为恰当方程的充要条件是 OM(x,y) aN(x,y) (2)
需考虑的问题 (1) 方程(1)是否为恰当方程? (2) 若(1)是恰当方程,怎样求解? (3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 2 方程为恰当方程的充要条件 定理1 域 中连续且有连续的一阶偏导数 则方程 设函数 和 在一个矩形区 , ( , ) ( , ) R M x y N x y M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) 为恰当方程的充要条件是 , (2). ( , ) ( , ) x N x y y M x y = M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1)