§52线性微分方程组的一般理论 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 §5.2 线性微分方程组的一般理论
一阶线性微分方程组 =A()x+f(),(5.14) 这里4(t)利f()在a≤t≤b上连续, 若f(t)=0则514)变为 dx=AUx, (5. .15) 称(515)为一阶齐线性微分方程组 若f(1)0,则称514)为非齐线性微分方程组 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 ( ) ( ), (5.14) dx A t x f t dt = + 这里 和 在 上连续 A t f t a t b ( ) ( ) , 一阶线性微分方程组: 若 则 变为 f t( ) 0 (5.14) = ( ) , (5.15) dx A t x dt = 称(5.15)为一阶齐线性微分方程组. 若 则称 为 f t( ) 0, (5.14) 非齐线性微分方程组
齐次线性微分方程组幕=A()x(6.15) 1叠加原理 dt 定理2如果x()2x2(1)…,xn()是方程组515)的m个解 则它们的线性组合cx1(t)+C2x2(t)+…+Cnxn(1)也是 方程组(515)舶解这里c1c2…Cn是任常数 证明:由于x(t)(i=1,2,…m)是方程组(515)的m个解 则有dx(t)=A()x(1)2t=1,2,…,m 所以d ∑cx(1)=∑ dx(1)又 ∑cA()x() ()∑ 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 一 齐次线性微分方程组 1 叠加原理 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ), ( ) , ( ) (5.15) , ( ) ( ) ( ) (5.15) , , , . m m m m x t x t x t c x t c x t c x t c c c + + + 如果 是方程组 的m个解 则它们的线性组合 也是 方程组 的解 这里 是任常数 定理2 证明: ( )( 1,2, ) (5.15) i 由于 是方程组 的m个解 x t i m = 则有 ( ) ( ) ( ), 1,2, , i i dx t A t x t i m dt = = 所以 1 ( ) m i i i d c x t dt = 1 ( ) m i i i dx t c dt = = ( ) ( ) A t x t i 1 ( ) ( ) m i i i A t c x t = = 1 m i i c = = ( ) , (5.15) dx A t x dt =
2函数向量组线性相关与无关 定义设x(x1()…x()是一组定义在区间a,b 上的函数列向量,如果存在一组不全为零的常数C 2…Cm,使得对所有a≤t≤b,有恒等式 c1x(D)+c2x2(t)+…+Cnxn(t)≡0 则称x(),x2(),…,xm()在区间b上线性相关 否则就称这组向量函数在区间[a,b上线性无关 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 2 函数向量组线性相关与无关 定义 设 1 2 ( ), ( ), , ( ) m x t x t x t 是一组定义在区间[ , ] a b 上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数C1 , C2 , ..., Cm , 使 得对所有 a t b ，有恒等式 否则就称这组向量函数在区间[ , ] a b 上线性无关. 则称 1 x t( ), 2 x t( ) , ..., ( ) m x t 在区间[ , ] a b 上线性相关; 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 m m c x t c x t c x t + + +
例1证明:函数向量组 cos t -sin- t ()=1,x2(t)= 在任何区间都是线性相关的 证明:取c1=1,c2=-1则 coS t-(1-sin t) C1x()+c2x2(D) 000 故x(1,x2(t)在任何区间线性相关 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 证明: 1 2 取 则 c c = = − 1, 1, 1 1 2 2 c x t c x t ( ) ( ) + t 1 2 故x t x t ( ), ( )在任何区间线性相关 例1 证明:函数向量组 2 1 cos ( ) 1 , t x t t = 在任何区间都是线性相关的. 2 2 1 sin ( ) 1 , t x t t − = 2 2 cos (1 sin ) 1 1 t t t t − − = − − 0 0 , 0 =