第三章 阶微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理
问题的提出:在前一章中,我们介绍了能用初等方法求解的一阶方程 的几种类型,但同时指出,大量的一阶微分方程是不能用初等方法求 出其通解的.另一方面,实际问题所需要的往往是要求满足某种初始 条件的解.因此现在我们把注意力集中在Cauc问题 f(x, y) y(xo)=y 的求解上.与代数方程类似,对于不能用初等方法求解的微分方程, 我们往往用数值法求解(这是以后要学的计算方法课程的内容之一) 在用数值法求Cauc问题解之前,需要在理论上先解决下面两个基 本问题:
需解决的问题 1°初值问题 f(,y) 的解是否存在 y(o)=yo 20若初值问题 f(x,y)的解是存在是否唯一? y(xo)=yo
需解决的问题 , ? ( ) ( , ) 1 0 0 0 初值问题 的解是否存在 = = y x y f x y dx dy , , ? ( ) ( , ) 2 0 0 0 若初值问题 的解是存在 是否唯一 = = y x y f x y dx dy
53.1解的存在唯一性定理与逐 步逼近法
§3.1 解的存在唯一性定理与逐 步逼近法
存在唯一性定理 1定理1考虑初值问题 dxf(x, y) (3.1) y(xo)=yo 其中f(x,y)在矩形区域R:x-x0≤ay-yb≤b,(32) 上连续,并且对y满足 Lipschi条件 即存在L>0,使对所有(x,y1)(x,y2)∈R常成立 f(x,y)-f(x, y2)sLy-y2l 则初值间题(31)在区间x-x0≤h上的解存在且唯 b 这里h=m(a,,M=Mxf(x,y) (x,y)∈R
一 存在唯一性定理 1 定理1 考虑初值问题 , (3.1) ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy 其中f (x, y)在矩形区域R: , , (3.2) x − x0 a y − y0 b 上连续, 并且对y满足Lipschitz条件: 即存在L 0,使对所有(x, y1 ),(x, y2 )R常成立 1 2 1 2 f (x, y ) − f (x, y ) L y − y (3.1) , 则初值问题 在区间x − x0 h上的解存在且唯一 min( , ), ( , ) ( , ) M Max f x y M b h a x y R 这里 = =