524一阶隐方程与参数表示
§2.4 一阶隐方程与参数表示
阶隐式方程(y未能解出或相当复杂) F(x,y,y)=0,(1 求解一采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型 主要研究以下四种类型 (1)y=f(x,y),(2)x=f(y,y) (3)F(x,y)=0,(4)F(y,y)=0
( ) 一阶隐式方程 y ' 未能解出或相当复杂 ( , , ) 0, (1) ' F x y y = 求解— 采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型. 主要研究以下四种类型 (1) ( , ), ' y = f x y (2) ( , ), ' x = f y y (3) ( , ) 0, ' F x y = (4) ( , ) 0, ' F y y =
定义对于微分方程F(x,y2如)=0如果存在定义在 x (a,B)上的函数x=(t)与y=v(,使当t∈(a,B时,有 F(()v(t),)=0, o( 则称x=Qf=)为方程F(x,y)=参数形式解 y=yo 同样可定义方程F(x,y,2)=0参数形式通解为 x=o(t,c y=W(c)t∈(a,B)
定义 上的函数 与 使当 时 有 对于微分方程 如果存在定义在 ( , ) ( ) ( ), ( , ) , ( , , ) 0, = = = x t y t t dx dy F x y ) 0, ( ) ( ) ( ( ), ( ), ' ' = t t F t t , ( , ) ( , , ) 0 . ( ) ( ) 则称 为方程 = 的参数形式解 = = dx dy t F x y y t x t 同样可定义方程 ( , , ) = 0的参数形式通解为 dx dy F x y , ( , ). ( , ) ( , ) = = t y t c x t c
哥解出y(或)的方程 1形如 y=f(x,,),(2) 方程的解法,这里假设f(x,y)有连续的偏导数 1引进参数p=y,则方程(2)变为 y=f(x,p),(3) 2将(3)两边对x求导,并以 atp代入,得 f ax ap dx dx af 这是关于变量x,p的阶微分方程
一 、可解出y(或x)的方程 1 形如 ( , ), (2) dx dy y = f x 方程的解法, 这里假设f (x, y )有连续的偏导数。 ' 1 0 引进参数p = y ' ,则方程(2)变为 y = f (x, p), (3) 2 0 将(3)两边对 求导,并以 p代入,得 dx dy x = , (4) dx dp p f x f p + = 这是关于变量x, p的一阶微分方程。 f p dp x dx f p − =
若求得(4)的通解形式为y=f(x,p),(3 p=o(r,c) P =9+9中 (4 ax ap dx 将它代入(3),即得原方程(2)的通解 y=f(x,0(x,c),c为任常数。 (1)若求得(4)的通解形式为 x=y(p, c) 则得(2)的参数形式的通解为 x=y(p, c y=f(y(p,c), p) 其中是参数c是任意常数
p =(x,c) (I) 若求得(4)的通解形式为 , (4) dx dp p f x f p + = 将它代入(3),即得原方程(2)的通解 y = f (x,(x,c)), c为任常数。 (II) 若求得(4)的通解形式为 x = ( p,c) 则得(2)的参数形式的通解为 x = ( p,c) y = f ( ( p,c), p), 其中p是参数,c是任意常数. y = f (x, p), (3)