(1)g/an,plao(2) f(1) 与f(- 1) 都是整数q+pg-p2.首项系数为1的整系数多项式f(r）的有理根一定是整数，3.求整系数多项式f(）=a.十a.-1"-1++十ao的有理根的方法：（1）求出a和的所有因数（2）以a的因数作分母，αo的因数作分子，写出所有可能的既pt约分数\(3)对第(2)步求出的分数进行检验,若(1)与（二1)表都q+p-p1是整数，则这个工有可能是f(t）的根，若两数不全为整数，则这个q卫就不会是f(z)的根.9(4)第(3)步筛选出来的可能是f(r)的根,再用一去q0除f(z)(可用综合除法),若余数为零,则二是f(z)的根，否则卫不49是f(r）的根应用举例一、有理根与重根例1求整系数多项式f(）=2—4-53+1023+6的有理根.解f(r)的首项系数2的因数有士1，士2,f(r)的常数项6的因数有士1，士2，土3，士6.因此，f（r）可能的有理根是13，士±1,±2，±3，±6，±12.229
而f（1）=6≠0,f（—1）=18≠0,即±1不是f(x）的根.因为(1十+3)f（-1),所以3不是f(α）的根同理,由于[1—(—3)7f(1),(1—6)F(1),L1—(-6)+f(1),3一都不可(2 + 3)(—1),[2 -(-3)(1),故3, ± 6,±有可能是f（r）的根.用综合能是f（α）的根.就只剩下了士2，士子除法检验知道2是f(α）的有理根，而其余的都不是（r）的根.故所求多项式的有理根只有2.例2设f(r）是一个整系数多项式，试证：如果f(0）与f(1)都是奇数；那么f（t）不能有整数根。证明（反证法）若α是f（r）的一个整数根，则有f(r) = (r- α)fi(α)比较两边多项式的系数知，f（）也是整系多项式，于是(f(0) =- αfi(0)(f(1) = (1 - α)fr(1)因为α与1一α中有个是偶数,从而f(0)与f(1)中有一个是偶数，这与已知条件矛盾，故f（）没有整数根例3设一个整系数多项式f(r）在两个整数值和2处的函数值都是1或一1,证明：如果|—2/>2,那么f(r）无有理根；如课|—≤2，且，那么f()的有理根只能是(α+r2)如果卫是f(r）的有理根，9>0,p,互素,那么证明f(r) = (p - gr)fi(r)且f.（）是整系数多项式.于是(p - q) /f(r1),(p qr2)/f(zz)南竺由已知f（）二士1f（2）=士1得多p—q=±1p—q2=±1两式相减可得(2)g=±2，或0.但当[一2/>2时，又因老光让30
为>0,所以(2—)≠2，—2,0.因此—21>2时,f()没有有理根.现在设1—21≤2.如果2>,那么2≤2,于是2-=1或2，这时，与g使等式（r2—）g=2成立的唯可能2值是p—i=1p—q2=1.也就是p=g十1,g=12-1所以，如果f（α）有有理根，那么这个有理根只可能是1—+2卫=r+-2qa如果r2<1，可作类似的讨论，关于多项式的重根，若不特别声明，根总是在复数范围内讨论的，这时，多项式有无重根与有无重因式是一致的.因此，在复数域内(r）有重根的充分必要条件是（f(a）,f"（r)）≠1.例4求多项式3+pa+有重根的条件令f(r）=3+pr+9则解法f(r)=3r2+p显然，当p=0时，只有当9=0,f(r）=z3才有重根（重数是3).若p≠0,且α是f(r）的重根，则α也是f（r)的根，即有(11)3++g=0(12)3α2 +p= 0由(11)得α(α2+p) = qQ=-卫由(12)得33gp)=q,a(则有N32p=α—P两边平方得24p2所以4p3+27g20由以上证明知，当4p3+27q2=0时，多项式r3+px十有重根31
解法二令f(）=3十p十g.当=q=0时，f(）有重根；当0时对于(s),F"（)作辗转相除法,得余式为±2724因此，f（r）有重根的条件是f（r）与f（r）不互素即4p3+27q20例5证明：f(r）=z+ar*-m+6不能有重数大于2的非零根.证明ft（r）=r*-推-[na"+（n-m)a]若α是f（r）的重数大于2的非零根，则α应该是nrm十（n一m）a的重数大于1的根.因而又应该是[nam+（n一m）a=nmrm-1的根，但是nmrm-1的根只有0，这是一个矛盾，所以f（z）没有重数大于2的非零根。例6设f(r）是数域P上的多项式，α是f(）的重根(k>0），且g(r）=f(）一（r一α)fi（r）问α是g(α）的多少重根？解由题设知存在多项式h(a)使得f(r) = (— α)h(r),(ra)h(r)g(r) = (r α)[(l h)h(r) - (r α)h (r))(1)如果>1,那么(α)X[(1=k)h(）—(r—α)h(r)否则（一α）|h(r）与假设矛盾.所以这时α是gr）的k重根(2）如果k=1,那么g(）=（一α)2h（r).这时α是g(r）的m重根（m≥2).例7设α是一个无理数，f(α）是有理数域上以α为根的次数最低的多项式，证明：f（r）无重根，证明如果f(r）有重根，那么f(z）与f'（）在复数域上不互素.设（f(z），f'（r)）=d(r）,a(d(r)）>0.因为最大公因式可由辗转相除法而得到，其运算都是有理运算，所以d(r）与f（r），f'（r）--样是有理系数多项式.再设f(r）=d()g(r）,则g(α）也是有理系数多项式，并且a(g(r))<af(r)),a(d())<a(f()).32
又因f(α)= d(α)g(a)= 0所以d(α) = 0或g(α)= 0不论哪种情况都和已知f(r）是以α为根的次数最低的多项式矛盾，故f（r）无重根，最后，要指出的是，用4去掉多项式因式重数的方法在多项式求根问题中有着重要的作用.因为当多项式f（r）有重因式时，(f(r）),f（)）=d(）≠l,用d(）除f(r)得商式g(r）,g(a）与f(r）有完全相同的不可约因式，我们可以把f（r）的求根问题转化为次数较低的多项式g（α）的求根问题.例如：例8求f（）=+26-65-8+173+62—20元+8的根，解F（）=76+125—30元4—323+51z2+12—20.用转相除法求得（f（），f（））=d（）=+-53—2十84.用d()除f(α)得商式g(r）=r2十—2=（1)(十2）.f(a）与g(）有完全相同的不可约因式r-1,r+2.可见，f（）有根1，一2.再用综合除法知1是f(r）的四重根，一2是f（z）的三重根二、根与因式分解当一个多项式的根比较容易求出时，利用根与一次因式的关系可以把多项式分解因式，例9分别在复数域、实数域和有理数域上分解多项式*+1为不可约因式的乘积，解在复数域上讨论十1在复数域内有四个根：解法一2V2V22/2/2222222V2/2，由因式定理，十1（)（）(）2 2(r - a).解法二4+1(+22+1)-22=(2+1)22233