四个多项式中至少有一个具有无限个根.矛盾.所以，f（）在有理数域上不可约。例8设α1，，,是n个不同的整数，证明：整系数多项式f(r) = (-a)2+ 1在有理数域上不可约，证明因为对任意实数α，f（α）>0,所以f（r）无实数根若fα）在有理数域Q上可约，设f(r) = β(α)(r)p(r),(r）是次数大于零的整系数多项式，则(r),(α）也没有实数根.这样，取任何实数值时，f（α），Φ（r），α）均不改变符号.但f(α）>0,所以(α),(）同号.不设(）≥0,(）>0首先证明a((r)）=a((r)）=n.若不然，设a((α)）<n或a())<n.若a(())<n,则由f(a)=l,知(a)=(a)=1（k=1，n）p(r）一1有n个根，与根的个数不超过多项式的次数的性质矛盾.同理可知a（（α））=n因为（r）一1有n个整数根ai，，所以p(r) = 1 + a(r -a)..(r - a,)同理,(r)=1+β(ra).(a,)α,β均为整数.于是，由fα）=@()(α），得(a)2(-a2)2...(—a)2+1=1+(α+)(—a)...(α—a)+αp( - a)2( a2)2...( - a)2比较2的系数，可知αβ一1.把它代入上面的等式，再比较的系数得α十β=0.但这是不可能的，因为满足αβ=1且α十β=0的整数α和β不存在.所以，f（a）在有理数域上不可约。二、唯一分解定理的应用例9设f(α),g(r)EP[],f(r）与g(α)的最小公倍式指的是P[]中满足以下条件的多项式m（r）：24
(a) f(r) |m(r),g(r) m(r);(b)若h(r) E P[],且f(r)/h(r),g(r)h(α),则m(α)[h(a).f（r),g(a）的首项系数为1的最小公倍式记作[f(r)，g(r).试证明：(1)如果f(r）.g(α）是P[中首项系数为1的多项式，且次数都大于零，它们的标准分解式分别为f(）=p(）…p（r）g（）qr),g(r)=p(）."p()tt().t(r），其中g()ti(）,(i=r+l,,s;j=r+,.,u),则[f(r),g(r)]=pi(a).p(α)q（r）q（r）t（a）.（r），其中m=max（，l)(i± 1,2,.",r).(2)[f(r),g(α))(f(r),g(r)) = f(r)g(r)证明（1）易见m(r）=p"（r）.p,mr（α)q(）.g（r）（）（）是f（）与g）的公倍式.设(）是f（）g（）的任一公倍式，只需证m（α）K（r）.因为f（a）K（r），g（r）|K（r），所以p"i(r),g(r),t,"(r)(i=l,,r;j=r+l,",s;v=r+l,..,u)都整除K（）.又因为它们两两都是互素的，由互素多项式乘积性质得m(r)|K(r).(2）证法一因为(f(r),g(α)）pi(r)p(r),其中h min(h,l.),而max(k,l.)+min(k;,l)=k,+l,(i=1,2,,r),所以[f(r),g(r)(f(r),g(r))=f(a) .g(a).证法二设f(α) = d(r)fi(r),g(r） = d(a)gr(ar),d(r)是f(r）,g(r）的最大公因式，则（fi(a），gi(a)）=l，f(r)g(r）=d(r)[d()fi(α)gi(r).今证d()fi(r)gi(）是f(α）与g(a)的最小公倍式:令m(α）=d(r)fi(α)gi(α）,(a)f(z)|m(r）,g(r）m(r）是显然的，(b)设 f(a)/M(r),g(r)[M(r)，则 M(r） = f(r)g(r） 一d(r)fi(r)q(α),M(r) = g(r)q2(α) = d()gi(r)q2(r). 从 而d(r)fi()g(）=d()g()g2().而d(r）≠0，所以有fi()gi(α)=g()q2().于是g()l()().但(f(),gi()）二1，故25
g()q(),g()=gi()qi().那么,M()d()fi()gi()g()=m(r)gi(r).因此，m(r)/M(α).故m(r)=d(r)fi(r)gi(r)是f(r)与r）的最小公倍式.从而有f（r)gr）=（f(r）,g()）.f（），g(）.两种证法相比较，用标准分解式要简便得多.由本例可以看出，如果已求得两个多项式的标准分解式，那么容易得到它们的最大公因式及最小公倍式.但是，求多项式的标准分解式没有一般方法，有时甚至是很困难的，本例提供的结果主要在于理论上的价值例10证明：数域P上一个次数大于零的多项式f(r）是P上某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是对任意g(r）EP[r]，或者（f(r），g(r)）=1,或者存在一个正整数m使得f(r）lg"(α)。证明必要性设f(r）=p(r),p(r）在P上不可约，>0，则对任意g(r）EP[r，有（p(r)，g(r)）一1或p(r)lg(r).如果(p(r),g(α)) = 1,那么(p(r),g(r)) = 1,即(f(α),g(r)) = 1.如果p(r)g(r),那么,p(r)lg(α),即f(r)lg(r).充分性已知a(f(r))>0,设f(r） =(r)(r).p(r),p（r）是不相同的不可约多项式.仅须证r=1.用反证法.如果r≥2,取g(r）=p().因为p()f(r）,所以(p(),f())≠1.由题设条件，存在正整数m使f(r）lp"（r），从而有pr"（r）=f（r）q(a）一pi(r)...p(r)g(r).若m<ki,则pi-m(a).pt(r)q(r)=1.矛盾.若m>k1,则 pm-(r)=p(r).p(r)q(r).于是p,(z)/ p(r). 这与(p(),p(α)）=1矛盾.故≥2不可能.因此r=1,即f(）=pi(2).例11数域P上的一个n(n>0）次多项式f(r）能被它的导数f（r）整除的充分必要条件是f(r）a(b)"(a,bEP)证明充分性因为f(r)=a(r—b)",f（r）=na(r—b)"-1所以fi(α)lf(r).必要性设f(）=apri()p22(α).p(）是f(r）的标准分解26
式，而f'(）=-1()22-1(r).p-1(r)(r),其中(r）不能被任何p(r)(i=1,2,,t)整除.由f'（α)f(a),知p(r）=c,c是非零常数.设a(p(r))=k,则a(f(r))=n=mik十mzkz十十mkr又a(f())=a(f(r))+1,所以n=(m1)+(m2—1)k2++（m-1)+1.从而n-1=n-（k+kz++k).因此+kz+十k=1.故=1,t=1.也就是f(r)=ap(），此处 a(p(r)) = 1. 设p(r) = b,则 f(r) = α( — b)"85多项式函数和多项式的根基本概念与结论一、定义1.设f(r)=a,rEP］，αEP，用α代所得的数称为f（r）当=α时的值，用符号f(α）表示这样，对于数域P中的每一个数c,令P中唯一确定的数f(c)与它对应，就得到P到P的一个映射.这个映射是由多项式f(r）所确定的，叫做P上一个多项式函数2.当f(α）=0时，称α是多项式f(）的根.若一α是f(）的重因式，则称α是f(r）的k重根；当k=1时，称α是f(a）的单根；当>1时,称α是f(）的重根二、性质1.余数定理用一次多项式α除多项式f(r）所得的余式等于当=α时f(r)的值f(α).2.因式定理—αlf(z）的充分必要条件是f(α）=0.3.P上的每个n次多项式在P内至多有n个根（重根按重数计).27
4.设f（r）与g（r）都是数域P上次数不大于n的两个多项式，则f(a）=g(r）的充分必要条件是在P内至少有n十1个不同的数a, 使f(a) = g(α)(i= 1,2,",n+ 1).这一结论表明，数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理，又可以作为函数来处理，5.拉格朗日插值公式设α1，a+1是P中n十1个互异数，br，ba-是P中任意n十1个数，则P上的多项式t (r - a)..(r - ai-)(r - ai+1)..(α - a,)L(r) = (a.- ai)...(a. - ai-,)(ai-ai+1)...(ai- a.)的次数≤n,并且满足L(a)=b.(i=1,…,n+1)三、复数域、实数域上多项式的根的性质1.代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中至少有一根.2.n次复系数多项式在复数域内恰有n个根（重根按重数计算).3.设a,,a是f(r）=aor+ar-++a(ao≠0)的n个根，则根与多项式的系数之间的关系是：adja2 + aia3 + aa-1a, 2++.+=aoao, ar, " α, = (-- 1),>ajd2 "*αn= (- 1)*araoao<ILt.4.如果α是实系数多项式f(r）的一个非实的复数根，则它的共轭数a也是f(r）的根，并且α与α有同一重数四、有理根的性质与求法1.设f(r）=aa"+a-1"-1+…+ao是-个整系数多项式，卫是一个有理数且(p,9）=1,若是f(r）的有理根,则有9Q28