《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第六章 数理统计的基本概念 第二节 抽样分布

第二节抽样分布统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而求出统计量的精确分布一般来说是很困难的，本节介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布

第二节 抽样分布 •1

一、三个常用的分布1.×分布定义：设随机变量X,X,,·X,相互独立，X,～N(0,1)(i=1,2,,n则称-X(1)服从自由度为n的×分布，记为×2～×（n）自由度指(1)式右端包含的独立变量的个数-yey>02x2(n)分布的概率密度为：,(y)=2r(n/2)定理6.3:0y≤Of(x)其中r(α)=J。xa-le**dxn=ln=4n=102分布的概率密度函数

一、三个常用的分布           1 2 2 2 2 2 2 1 , , 0,1 1,2, , 1 1 n n n i i i X X X N i n n    n        设随机变量X 相互独立，X 则称 服从自由度为 的 ， 定 指 式右端包含 分布 记为 自 度 的独立变 义： 由 量的个数         2 2 1 2 1 0 1 0 2 2 2 0 6 0 .3 n y n x y e y n f y n y x e dx                           分布的概率密度为： 其 理 中 定 ： •2 2 1. 分布 x f x( ) 0 n 10 n 1 n  4 2  分布的概率密度函数

x2分布的一些重要性质：(1)设x~x(n),则有E(x)=n,D(x）=2n(2）设Y~×（n）~×（n）且Y相互独立，则有Y+~x（n+n）性质2称为×分布的可加性，可推广到有限个的情形：设(n),且Y,Y,相互独立，则(n对给定的概率α,0<α<1,称满足条件[z(m)f,(y)dy=α的点xa(n)为x(n)分布的上α分位数,上α分位数x(n)的值可查分布表f(x)注意：在求×分布的分位点Q当n>45时，可用近似公式：xa(n)~(ua+/2n-1)0xxa(n)x分布的分位数-3

2  分布的一些重要性质： •3       2 2 2 2 （1 , , 2 ）设       n E n D n 则有       2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 （2 , , , ）设Y n Y n Y Y Y Y n n         且 相互独立，则有 2 性质 称为 ，可推广到有限个的情形： 2  分布的可加性   2 2 1 2 1 1 , , , , m m i i m i i i i Y n Y Y Y Y n           设 且 相互独立，则            2 2 2 2 2 ,0 1, , n n f dy n y n n                 为 分布的上 分 对给定的概率 称满足条件 的点 位数 上 分位数 的值可查 分布表   2 n  0 2  分布的分位数 x f x( )    2 2 2 45 1 2 1 2 n n u n         注意： 在求 分布的分位点， 当 时，可用近似公式： （ ）

例l：设总体X~N（u）u已知。（X,X，X）是取自总体x的样本求（1)统计量x=(X-μ）的分布：(2）设n=5,若a(X-X,)+b(2X,-X4-X,)~×(k)则a,b,k各为多少？解：(1)作变换 ==i=1,2,.,na显然Y,Y2,.,Y,相互独立，且Y, ～N(O,1) i=1,2,,n1a=于是 x-(") -~x(n)2021(2) x-X ~ N(0,20),~x()b=6g22g2k=2.2X,-X,-X, ~ N(0,6g*),(2X, -X,-X,)}~ x(1)6g?X,-X,与2X-X4-X,相互独立,故+X--~(2)2g26g?

•4     2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 4 5 1 , , , , , , 1 ( ) ) (2 ) ~ ( ), n n i i N X X X X X b X X X k                  1 例 ：设总体X 已知。 是取自总体X的样本 求(1)统计量 的分布； （2）设n=5,若a(X 则a,b,k各为多少？ 1,2, , i i X Y i n    解：(1)作变换   显然 相互独立，且 Y Y Y Y N i n 1 2 , , , 0,1 1,2, , n i       2 2 2 1 1 ( ) n n i i i i X Y n             于是 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ( ) (2) ~ (0,2 ), ~ (1) 2 X X X X N      2 2 2 345 345 2 (2 ) 2 ~ (0,6 ), ~ (1) 6 X X X X X X N        1 2 3 4 5 2 2 1 2 345 2 2 2 ( ) (2 ) ~ (2) 2 6 X X X X X X X X X X          与2 相互独立， 故 ＋ 2 2 1 , 2 1 , 6 2. a b k     

2.t-分布定义：设X~N(0,1),Y~x2(n),并且X,Y相互独立,X则称随机变量T：服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)/n＃定理6.4:t(n)分布的概率密度为：f(t,n)1,-8<t<+8n1n元厂（对给定的α, 0<α<1,称满足条件[mf(t,n)dt=α的点tα (n)为t(n)分布的上α分位数。t分布的上α分位数可查t分布表f(x)ti-α(n)=-ts(n)注意：在求t分布f(x)n=1034的分位点，当n>45时，α可用近似公式：7=ta(n)=uax1023o ta(n)321分布的密度函数-51分布的分位数

      2 N Y n 0,1 , , , X T n t T t Y n Y n   设X  并且X 相互独立， 则称随机变量 服从自由度为 的 分布，记为 定义：         , 0 1, , t n f t n dt t n t n t t            对给定的 称满足条件 的点  为 分布的上 。 分布的上 分位数可 分位数 查 分布表 •5 2.t分布         1 2 1 2 2 2 6.4 , 1 , n n n t t n f t n t n n                  定理 ： 分布的概率密度为：  t n    f x  0 x t分布的分位数 n 10 3 1 3 x f x( ) n 1 n  4 2 1 0 2 t分布的密度函数 1 t n t n ( ) ( )     45 t n t n u     注意： 在求 分布 的分位点，当 时， 可用近似公式： ( ）