1(1)(f,g) = 1.(2)(f",g" + tf') = 1(3)(fg,f ±g) 1.其中f，g都是Pla中的多项式，m，n，s,t都是自然数证明先证(1)←(2).设（f",g"+tf"）1则存在多项式u,使得uf+v(g+tf')=1即(ufa-1 + tf'-)f + (vg-1)g = 1所以(f,g) = 1.反之，设（f，g）=1,反复应用例7的结果得（f，g）=1.根据例2的结果得(f,g + tf) = (f,g) = 1.再用例7的结果得(f",g" + tf') 1.费再证(1)←→(3)（1>（3）利用例2，例7的结果容易得出反之，设（fg，f+g）=1,则存在多项式u，使fgu+（f+g)v-1.因此有f(gu+v）+gu=1.从而（f,g）=1.对f一g的情形可同样证明。例9设f(）=z2m+2+1—23+z2—22±+90,g(）z*十一6,m是大于2的整数,求证f(r）与g(r）互素证法一用辗转相除法，2+2+1-23r+r2-22x+90+x—6十工6rr2m+x*+1—+1—17+2—22x+902#+1+r6r16+9017个*17#+102— 17元南竺楼二送记r-12当m>2时，12不是十r一6的根，故由因式定理（$5）知，14
—12|+6.所以(f(),g(r)）=1证法二）对g(r)进行变形由g2(）=2m+2r"(—6)+（—6)2=z2m+2x(m+1)—12+r2-12x+36得g2(r)—f(r)= 11rm+10x—54则11g(r)[g?(r)—f(r)1=x— 12因为12不是g（α）的根，所以一12与g（α）无公共根，从而它们互素,即有(g(r),1l1g(r) - (g2(r) f(r)) = 1根据例8易知(g(r),f(a)) = 1.例10证明：若f(a）,g(r）都是数域P上次数大于零的多项S式，且(f(r）,g()）1,则存在唯一的u(r),v(r）EP[,a(u(r))< a(g(r)),a(v(r)) <a(f(r))满足u(r)f(α) +(r)g(r) = 1.证明因为（f(）,g（)）=l，所以存在u（）,（）EP[(7)使得uo(r)f(r)+vo(r)g()= l比较左右两端的次数可知，uo（r），"r）都不可能是0,uo（a）有下面两种可能1a(u(r))<a(g()),这时可证a(vo(r)) < a(f(r))事实上，若a(vo(r)）≥a(f(r)),则(7)式左端uo(r)f(r）的次数小于()g(）的次数，于是a(uo(r)f(r) + vo(r)g(r)) = a(vo(r)g(r))=a(vo(r)) + a(g(r))> 0但（7)式右端的次数是0,这就产生矛盾.所以a(uo(r)）<a(g()），a(vo(r)）<a(f()).对于这种情况uo(r）,vo(r）即为所求（1）若a(uo(r)）≥a(g(r))，用g(a）除 uc(r）得 uo(r）=g(r)g(r)+r(r),其中r(r) = 0或a(r(r))<a(g(r)). 但r(r) = 015
是不可能的.因为若r(r）=0,则uo(r）=g(α)g(α).代入(7)式得(g(r)f(r）+ vo(r))g(r） 1.故有g(r)/1.这与a(g(r))>0的假设矛盾.故r(）≠0.将uo(）=q()g(r）十r(r)代人(7)式得r()f(r) +(g(r)f(r)+ vo(r))g(r) = 1令u(r)=r(),v(r)=g(r)f(r)+vo(r),得(8)u(r)f(r) + v(r)g(r) = 1因为a(u(r)）=a(r()）<a(g(r)）,再利用（I）的结果，即证得再证唯一性.假定还有u（r）,（r）EPa使得(9)ui(r)f(r) + w(r)g(r) = 1并且 a(u,(r)) < a(g(r)),a(vi(r)) <a(f(r)),梦由（9)式减（8）式得(u(r) u(r))f(r) = (v(α) i(r))g(r)因为(f(α),g(r)) = 1所以g()l[ui(r) - u(r)],f(r)/[(r) — vi(r)]而a(u(r)) <a(g(r)),a(u(r)) <a(g(r))则a(u(r) - u(r)) <a(g(r))同样,a(v(r)—vr(α))<a(f(r))这是不可能的,所以有u(r）一u(r）=0,(r）—i(）=0,即 ui(r) = u(r),(r) v(r).例 11 设f（r），g(r）不全为0,求证：f(r)g(r)(f(r),g(r))'(f(r),g(α)))f(a)g(r)(2)若与(f(),g(a))的次数都大于零，则存在(f(r),g(a))唯一的一对多项式u(),(r)满足u(r)f(r) +v(r)g(r) = (f(r),g(α))g(a)并且a(u(r)) <a((f(r),g(r))16
f(r)((r)) <((f(r),g(r))（1）由最大公因式性质，存在u(r）,(）使得证明u()f(r) + w(r)g(r) (f(r),g(r))因为f(r）与g(r）不全为0,所以(f(r),g(a)）≠0.从而g(r)f(r)=1(f(c),g(a) + p(r)u(α)(f(r),g(a))g(r)f(a)=1于是(f(r),g(r))'(f(a),g(a))g(r)f(r)的次数都大于零，由（1)(2)因为(),g()与与（f(r),g(r))知它们互素.根据例10的结果可知，存在唯一的-一对多项式u(r),(r)满足g(r)f(r)(a) + () 00) = 1u(r) 7u(r)f(r) + (a)g(r) = (f(r),g(r))即f(α)g(r)并且a(a(a)<(),(a(a)<(d((f(a),g(r)))因式分解$4基本概念与结论一、不可约多项式的定义、性质及唯一分解定理1.数域P上次数大于零的多项式p(r），如果不能表示成数域P上两个次数比它低的多项式的乘积，则称p(z）是P上的不可约多项式.零多项式与零次多项式，既不能说它们是可约的，也不能说它们是不可约的。2.数域P上次数大于零的多项式p(z)在P上不可约的充分必要条件是p(）在PL］中只有平凡因式3.不可约多项式的性质17
(1）若p(r）是P上的不可约多项式，则cp(r）也是P上的不可约多项式，其中c是P中的非零数（2）不可约多项式p（r）与任-多项式f（r）之间只可能有两种关系,或者p(r)lf(r）,或者（p(r）,f(α)）=1.(3）如果p(r）在P上不可约,且p(a)/f()g(r）,则p(r)lf(r)或 p(r) lg(r)4.（唯一因式分解定理）数域P上任一次数大于零的多项式都可以分解成P上若于个不可约多项式的乘积，在不计常数因子的差别和不可约因式的次序的前提下，分解是唯一的，5.数域P上任一次数大于零的多项式f（）都有唯一的标准分解式：f(r) =cpri(r)p2'2(r).*pr(r)这里p（r）（i1，t）是P上首项系数为1的不可约多项式，且两两互异，c是f（r）的首项系数，r.(i=1，…,t）是正整数二、 重因式1.数域P上的不可约多项式p(r）称为P上多项式(r）的k重因式，如果(1)p(r) /f(α),(2)pt+1(r)/f(r).当k二1时，p(a）称为单因式，k≥2时，p(r）称为重因式2.设p(r)是多项式f(r)的一个k(k≥1)重因式,那么p(r)是f'（r）的一个k一1重因式.特别地，f(r）的单因式不是f(r）的导数的因式3.如果不可约多项式p（α）是f（r）的（k≥1）重因式，那么p（α）是f(r）,f"（r)，",f(t-1)(r）的因式，但不是f()(r）的因式。4.不可约多项式p（α）是f（r）的重因式的充分必要条件是p(r）是f(r）与fl（r）的公因式.5.f(α）没有重因式的充分必要条件是（f(r）,f（a)）=1.6.设f(r）的标准分解式为ap(r)p2z(r).p(a），其中18