证明首先证明f（r）=0.如果f（r）≠0，因为(4)f2(r) = rg2s(r) + th2(r)所以g2（r）十rh2（r）≠0.从而g2（r）十h（）≠0.分两种情况讨论：(1)g2(α）0,h2(r）≠0.假定f(）,g(α),h(）的次数分别是m，n，l.比较（4）式两边多项式的次数，可得2km=1+max（2sn，2t）).这是不可能的（2)g2"（）与h2（α）中只有-个不等于零，设g2≠0,h2=0.此时有2km=1十2sn.矛盾，综上所述，得到f(r）一0由f(r）=0及（4）式，得(5)3g2s(r) + h2(r) 0如果g(r）,h(r）中至少有~-个不为0，由于g2（z）,h2"(r）的首项系数都是非负实数，且至少有个是正实数，因此g2*（r）十h2（z）的首项系数不为零，与(5）式矛盾.故g(r）=h(z）=0.例4试求出所有适合于f(f()）一［f(r)的非零复多项式f(r）（n是正整数）解（1)若a(f(r))= 0,则f(r）=c,c≠0.由f(f(r))一[f(r)］，得f(f（r)）=c=c，于是c"=c.即c-1一1.其解为n—1次单位根2k元2k元(k = 0,l,,n - 2)+isinC=cOsn-1n1(2)若a(f(r))≥1,设f(r)为m次多项式,由f(f(r))=[f(a)]，比较等号两端多项式的次数得mn = m?从而有m=n设f(r)=ao"+ar"-+.+ax再把f(α）代入f(f(α)）=［f(r)］得4
(ao--1)[f()]+ a[f(r)"- +" + an= 0逐一从高次到低次考虑首项系数，便得ag=1,a2== =0所以f(）一当f(r）=c(c是n一1次单位根）或f(r）=r"时，有f(f(r））=[f(r)].故满足（f(r)）=［f(r)的复多项式是f(r）=r"或2km2knf(r）ck，其中c=cos+isin(k=0,1,.,n-2).一n-ln8 2多项式的整除性基本概念与结论、整除的定义1.设f(r),g(r）EP[],如果存在h(r）EP[]使f(α）=g(r)h(r），则称g(）整除f(）,记作g(）lf(），否则就称g（r）不能整除f(a），记作g(r）f(r)当g(r)lf(r）时，就称g(a）是f(r）的-个因式2.任一多项式f（）必整除它自身：任一多项式都整除零多项式；P中非零常数整除P[rl中任一多项式3.P[中任一多项式f(r）都有因式ccf(r)(c是P中不为零的数），称它们是f（）的平凡因式（或当然因式）二、 整除的基本性质1.若f(r)lg(r）且g(a)lf(r),则f(r）=cg(r),这里c是数域P中非零常数.2. 若f(r)lg(r),g(r)[h(α),则 f(r) (h(r)3.若f(），g1(），，gm（）都是P[中的多项式，且f(α）|g:(r)(1,2，，m），则对任意的多项式u（r）EP[]（i=1,2，…，m），5
恒有u(r)g.(r)f(r三、整除的一个判别法J(r),g(r）EPr].g(r）0,则g(r)lf(r）的充分必要条件是g(r）除f（r）的余式为零当g(r)I(r）时·g()除(n)的商有时也用来表示g(r)应用举例例1m.P.q适合什么条件时，有(r2 + m - 1)/(r3 + pr + g)盛解法一23+ pr+qr2+m-1m=q(r)r3+mr? -r mr2 +(p+1)r + g- mr?-- mr+mr(r)=(p+ 1+m)r+(g=m)(2+mr一1）/（r3+pr+g）必须且只须余式为0,即(p+ 1+m2)r+(g-m)=0(p+1+m2=0时,有(r2+m一1)[(3 + + g)所以，-m=01由(r2+mr一1)(3+p+g),可设解法二日r3 + pr +g=(r2+ mr -1)(r +a)即++g=+(m+a)+(ma-1)r-a(m+a=0比较系数得ma - 1=pa=q6"r
fp+1+m2=0消去α得lg-m=0解法一用的是辗转相除法，解法二用的是比较系数法，在讨论含有参数的多项式时，常用这两种方法，例2设m是大于1的整数，f（）二m-1十-2+…十1,试求所有满足f(r）iLf(r"）+c的常数c.解当c=一m时，f(r")-m= zm(m-1)+a(m-2)+.+r +1-m= (zm(m-1)-1)+ (rm(m-2) -1)+... + (r" -1)= (r" 1)g(r)(r—1)/(f(a")—m).而rm—1= (r1)f(α),故所以f(r)/（a一1).从而有f(r)lLf(r"）m]&如果常数i满足f（α）ILf（"）+c，那么f(r)i[f(r")一m+(c+m)已证f(r）iEf(r"）一ml,故f(r）l（c+m）.而f（r）次数大于零，于是 Ci十m=0.即 ci=一m.所以c=一m是满足f(r)I[f(r"）+c的唯一常数.例3设f(z)=(+1)#++(2)(r+1)+#-+.+(2r)(r+1)其中,n都是非负整数,证明：++11[(—1)f(）+（+1)*+*+分析注意到fr）中含有+1及2，把-1写成2—（+1），这是证明的关键。(1)f()=[2 (r+ 1)(+ 1) 证明+(2x)(r+1)+-1+...+(2r)月(x+1)*= [(2r)++1 - (r + 1)t+1](r + 1)= (2r)t+1(r + 1)* -- ( + 1)++1于是(α-1)f(r）+(α+1)*+#+1=(2r)*+1(a+1)*= 2++1rt+1(r + 1)*7
故a*+1[(z 1)f(z) + (α + 1)++#+1].例4证明(r"—1)/(r*一1)的充分必要条件是dn，其中d,n是非负整数证明充分性设dn，假定n一dg，则r-1=rg-1=(r)-1= (r- 1)(rd(g-1) +r(g-2) +++ 1)从而(r—1) /(r" 1).必要性设（1)1(r-1),假定n=dg+,r=0或o<r<d.如果0<r<d,那么1=r+—1=r(-1)+(r—1).由充分性的证明知(r—1)1(r*1),故(r—1)/(r"—1).但是0<r<d,矛盾，只有r=0.这就证明了dn83最大公因式基本概念与结论、最大公因式的定义及性质1.设f(r),g(r）EP[].若d(r）EP(r)满足条件：d(r) /f(r),d(x)ig(r)则称d(r）是f(r）与g(r）的一个公因式若d(r）是f(r）与g(r)的公因式,并且f(α）与g(a)的任一公因式都是d(r）的因式，则称d(α）是f(z）与g(）的一个最大公因式.2.性质（1）数域P上任意两个多项式f(r）与g(r）的最大公因式一定存在.若d(α）是f(α）与g(r）的最大公因式，则必有α(z),v(a）EP[] 满足8