(x,y)≤r(xy 在一v+C(*树 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系
( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 = − + u x y v dx v dy c x y x y y x 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系
例1由下列条件求解析函数(z)=u+i r txy-y f(i)=-1+i 解 ay au =2x+y =-2y+x ay ax ax ay dx +o dy=(2y-x)dx+(2x+ y)dy ax p (x,y) (2y-x)tx+(2x+y) 0,0) xx+r(2x+y)dy+c 2 y 曲线积分法 +2x++c 2 2
u x xy y f i i f z u i v = + − = − + = + ( ) 1 ( ) 2 2 例1 由下列条件求解析函数 dy y x dx x y dy y v dx x v dv y x y u x v x y x u y v (2 ) (2 ) 2 2 = − + + + = = − + = = + − = 解 c y xy x xdx x y dy c v x y y x dx x y dy c x y o x y = − + + + = − + + + = − + + + 2 2 2 (2 ) ( , ) (2 ) (2 ) 2 2 0 ( , ) (0,0) 曲线积分法
故∫(x)=(x-y冰通2++y c =(x+iy)2-(x+iy)2+ic=(1-i)z2+ic 2 2 f(i)=-1+i代入上式得(1-3)2+ic=-1+i C=f(z)=(1-÷)x+ x=-(+2),y=-(-) 2i
x i y i c i z i c i x i y f z x y xy i x xy y c = + − + + = − + = − + + − + + + 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 1 ( ) (1 2 ( ) ) 2 1 2 2 1 故 ( ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) (1 2 1 ) 1 2 ( ) 1 (1 2 2 i z i c f z i i c i i f i i = = − + = − + 代入上式得，− + = − + ( ) 2 1 ( ), 2 1 z z i x = z + z y = −
又解d1 00 -dx+ =(2y-x)dx+ (2x y)dj 2ydx+ 2 xdy-xdx+ ydy 2dxy+d( 3×少 凑全微分法 +2xy+=+c f(x)=(x-y+切)+i(x2+2x2、2+c) 2
) 2 2 2 ( 2 2 2 2 x y dxy d ydx xdy xdx ydy = + − + = + − + y x dx x y dy dy yv dx xv dv = ( 2 − ) + ( 2 + ) + 又解 = c y xy x v x y = − + + + 2 2 2 ( , ) 2 2 ) 21 2 21 ( ) ( ) ( 2 2 2 2 f z = x − y + xy + i − x + xy + y + c 凑全微分法
y 又解 0=2x+y→v=2x+y+0(x) ay 2 2y+φp(x)=2y-x 卯(x)=-x(x)=、女 2 偏积分法 2 v(x, y)=2xy y x 22 f(x)=(x2-y2+xg)+i(-x2+2xy+y2+c) 2 2
( ) 2 2 2 2 x y x y v xy yv = + = + + ) 21 2 21 ( ) ( ) ( 2 2 2 2 f z = x − y + xy + i − x + xy + y + c 又解 偏积分法 y x y x xv xv = + = − 2 '( ) 2 c x x = − + 2 ( ) 2 c y x v x y = xy + − + 2 2 ( , ) 2 2 2 ' ( x ) = − x